Question

4．如圖，將?ABCD沿EF對(duì)折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)C處，若∠A=60°，AD=4，AB=6，則AE的長(zhǎng)為$\frac{19}{4}$．

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，易證△D′CF≌△ECB（ASA），從而可知D′F=EB，CF=CE，設(shè)AE=x，在△CEG中，利用勾股定理列出方程即可求出x的值．

解答 解：過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，
在?ABCD中，
∠D=∠EBC，AD=BC，∠A=∠DCB，
由于?ABCD沿EF對(duì)折，
∴∠D′=∠D=∠EBC，∠D′CE=∠A=∠DCB，
D′C=AD=BC，
∴∠D′CF+∠FCE=∠FCE+∠ECB，
∴∠D′CF=∠ECB，
在△D′CF與△ECB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D′=∠EBC}\\{D′C=BC}\\{∠D′CF=∠ECB}\end{array}\right.$
∴△D′CF≌△ECB（ASA）
∴D′F=EB，CF=CE，
∵DF=D′F，
∴DF=EB，AE=CF
設(shè)AE=x，
則EB=6-x，CF=x，
∵BC=4，∠CBG=60°，
∴BG=$\frac{1}{2}$BC=2，
由勾股定理可知：CG=2$\sqrt{3}$，
∴EG=EB+BG=6-x+2=8-x
在△CEG中，
由勾股定理可知：（8-x）²+（2$\sqrt{3}$）²=x²，
解得：x=AE=$\frac{19}{4}$
故答案為：$\frac{19}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查平行四邊形的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是證明△D′CF≌△ECB，然后利用勾股定理列出方程，本題屬于中等題型．