Question

（2013•十堰模擬）如圖，矩形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得，矩形OA′B′C′，已知OA=1，AB=3，拋物線y=x²+bx+c過點(diǎn)A，C′，與y軸相交于點(diǎn)D．
（1）求拋物線解析式；
（2）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使PC+PB′最��？若存在，求點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
（3）設(shè)M為x軸一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿x軸負(fù)半軸方向以1個(gè)單位/秒運(yùn)動(dòng)，多少秒后△MAD是等腰三角形？并求點(diǎn)M坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)可得OC′=OC=AB=3，求得點(diǎn)C′的坐標(biāo)，再將點(diǎn)A，C′的坐標(biāo)代入y=x²+bx+c，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）作點(diǎn)B′關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B″，連接B″C，交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)PC+PB′最小．運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線B″C的解析式，進(jìn)而得到直線B″C與x軸的交點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，0），當(dāng)△MAD是等腰三角形時(shí)，分三種情況進(jìn)行討論：①M(fèi)A=MD；②AM=AD；③DM=DA．

解答：解：（1）∵OA=1，∴A（1，0）．
∵矩形OABC繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得矩形OA′B′C′，
∴OC′=OC=AB=3，
∴C′（-3，0）．
將點(diǎn)A（1，0），C′（-3，0）代入y=x²+bx+c，
得

1+b+c=0 9-3b+c=0

，解得

b=2 c=-3

，
∴拋物線解析式為y=x²+2x-3；

（2）作點(diǎn)B′關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B″，連接B″C，交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)PC+PB′=PC+PB″=B″C，值最�。�
∵B′（-3，1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為B″，
∴B″（-3，-1）．
設(shè)直線B″C的解析式為y=kx+m，
∵B″（-3，-1），C（0，3），
∴

-3k+m=-1 m=3

，解得

k= 4 3 m=3

，
∴直線B″C的解析式為y=

4

3

x+3，
當(dāng)y=0時(shí)，

4

3

x+3=0，
解得x=-

9

4

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

9

4

，0）；

（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，0），則x＜1．
∵拋物線y=x²+2x-3與y軸相交于點(diǎn)D，
∴D（0，-3）．
當(dāng)△MAD是等腰三角形時(shí)，分三種情況：
①如果MA=MD，那么（x-1）²=x²+3²；解得x=-4，
∴OM=4，AM=AO+OM=1+4=5，
∴M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為5÷1=5（秒）；
②如果AM=AD，那么（x-1）²=1²+3²；解得x=1±

10

，
∵x＜1，
∴x=1+

10

不合題意舍去，即x=1-

10

，
∴OM=

10

-1，AM=AO+OM=1+

10

-1=

10

，
∴M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

10

÷1=

10

（秒）；
③如果DM=DA，那么M與A關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴OM=OA=1，AM=AO+OM=1+1=2，
∴M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2÷1=2（秒）；
綜上所述，5秒

10

秒或2秒后△MAD是等腰三角形，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-4，0）或（1-

10

，0）或（-1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到矩形的性質(zhì)，運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，軸對(duì)稱-最短路線問題，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．