Question

14．拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過點A（-1，0）和C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P為拋物線對稱軸上一點．
①當PA+PC最小時，求點P的坐標；
②當△PAC是直角三角形時，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可解決．
（2）求出直線BC與對稱軸的交點就是點P．
（3）分三種情形討論：①當∠ACP₁=90°時，求出直線P₁C為y=-$\frac{1}{3}$x+3即可．②當∠CAP₂=90°，求出直線AP₂為y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$即可．③當∠AP₃C=90°時，作CE⊥對稱軸于E，設P（1，k），由△P₃CE∽△AP₃F得到$\frac{CE}{{P}_{3}F}$=$\frac{E{P}_{3}}{AF}$，即可解決問題．

解答 解：（1）把點A（-1，0）和C（0，3），代入y=-x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{-b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
故拋物線解析式為y=-x²+2x+3．
（2）①設直線BC為y=kx+b，直線BC與對稱軸的交點就是點P．
∵拋物線對稱軸x=1，點B坐標（3，0），則$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線BC為y=-x+3，與對稱軸的交點為（1，2），
∴點P坐標（1，2）．
②當∠ACP₁=90°時，
∵直線AC解析式為y=3x+3，
∴直線P₁C為y=-$\frac{1}{3}$x+3，
∴點P₁（1，$\frac{8}{3}$）．
當∠CAP₂=90°，直線AP₂為y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$，
∴點P₂（1，-$\frac{2}{3}$）．
當∠AP₃C=90°時，作CE⊥對稱軸于E，設P（1，k）
由△P₃CE∽△AP₃F得到$\frac{CE}{{P}_{3}F}$=$\frac{E{P}_{3}}{AF}$，
∴$\frac{1}{k}$=$\frac{3-k}{2}$，
∴k=1或2，
∴點P坐標（1，1）或（1，2）．
綜上所述點P坐標（1，1）或（1，2）或（1，$\frac{8}{3}$）或（1，-$\frac{2}{3}$）．

點評 本題考查二次函數(shù)性質、最小值問題、直角三角形，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學會分類討論思想，利用一次函數(shù)解決問題，屬于中考常考題型．