Question

（2012•香坊區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，Rt△OAB的直角邊0A在x軸正半軸上，且OA=4，AB=2，將△OAB沿某條直線翻折，使OA與y軸正半軸的OC重合、點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，連接AD交OB于點(diǎn)E．
（1）求AD所在直線的解析式：
（2）連接BD，若動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿射線A0運(yùn)動(dòng)，線段AM的垂直平分線交直線AD于點(diǎn)N，交直線BD子Q，設(shè)線段QN的長(zhǎng)為y（y≠0），點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求y與t之問(wèn)的函數(shù)關(guān)系式（直接寫出自變量t的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，連接MN，當(dāng)t為何值時(shí)，直線MN與過(guò)D、E、O三點(diǎn)的圓相切，并求出此時(shí)切點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）求出A和D的坐標(biāo)代入直線AD的解析式y(tǒng)=kx+b得出方程組，求出即可；
（2）把B和D的坐標(biāo)代入直線BD的解析式y(tǒng)=ax+c得出方程組，求出即可，得出N、Q的橫坐標(biāo)，代入求出N、Q的縱坐標(biāo)，即可求出y；
（3）分為兩種情況：①當(dāng)AM＜4時(shí)，畫出圖形，過(guò)D作DF⊥OA于F，則CD∥OF，CD=OF=2，求出∠OED=90°，得出OD為經(jīng)過(guò)D、E、O三點(diǎn)的圓的直徑，OD的中點(diǎn)O′為圓心．根據(jù)勾股定理求出OD=2

5

，tan∠COD=

1

2

，tan∠ODC=2，求出AD=2

5

，AH=MH=t，根據(jù)勾股定理得出AN=

5

t，推出

AM

AO

=

AN

AD

，證△OAD∽△OMN，推出MN∥OD，連接O′G，過(guò)G作GK⊥OA于點(diǎn)K，過(guò)M作MH⊥OD于點(diǎn)H，得出四邊形O′HMG是矩形，起初G（3，1），根據(jù)OM+AM=OA，得出

5

2

+2t=4，求出t；②當(dāng)AM＞4時(shí)，同法能求出t的值．

解答：（1）解：∵△OAB≌△OCD，
∴OC=OA=4，AB=CD=2，
∴D（2，4），
∵直線AD過(guò)A（4，0）和D（2，4），
∴設(shè)直線AD的解析式是y=kx+b，
代入得：

0=4k+b 4=2k+b

，
解得：k=-2，b=8，
∴AD所在直線的解析式是y=-2x+8；

（2）解：∵D（2，4），B（4，2），
∴設(shè)直線BD的解析式是y=ax+c
代入得：

4=2a+c 2=4a+c

，
解得：a=-1，c=6，
∴直線BD的解析式是y=-x+6，
∵直線NQ垂直平分AM，
∴NH⊥AM，AH=HM=

1

2

AM=

1

2

×2t=t，
分為兩種情況：①當(dāng)0＜t＜2時(shí)，如圖a，
∵OH=4-t，
∴H（4-t，0），
∴點(diǎn)Q、N的橫坐標(biāo)是4-t，
∴N的縱坐標(biāo)是-2（4-t）+8=2t，
Q的縱坐標(biāo)是-（4-t）+6=t+2，
∴NQ=（t+2）-2t=2-t，
即y=2-t（0＜t＜2）；
②當(dāng)t＞2時(shí)，同法可求y=t-2，如圖b

綜合上述：y=

2-t(0＜t＜2) t-2(t＞2)

；

（3）解：分為兩種情況：①當(dāng)AM＜4時(shí)，如圖c，
過(guò)D作DF⊥OA于F，則CD∥OF，CD=OF=2，
∵OA=4，
∴OF=AF=2，
∵DF⊥OA，
∴OD=AD，∠ODC=∠DOF=∠DAF，
∵△OAB≌△OCD，
∴∠COD=∠AOB，
∵∠COD+∠AOD=90°，
∴∠OED=∠AOB+∠OAD=90°，
∴OD為經(jīng)過(guò)D、E、O三點(diǎn)的圓的直徑，OD的中點(diǎn)O′為圓心．
∵在Rt△OCD中，OD²=CD²+OC²，
∴OD=2

5

，tan∠COD=

1

2

，tan∠ODC=2，
∴tan∠ODC=tan∠DOF=tan∠DAF=2，
∴AD=2

5

，
∵AM=2t，
∴AH=MH=t，
∴在Rt△AHN中，由勾股定理得：AN=

5

t，
∴

AM

AO

=

2t

4

=

t

2

，

AN

AD

=

5 t

2 5

=

t

2

，
∴

AM

AO

=

AN

AD

，
∵∠OAD=∠MAN，
∴△OAD∽△OMN，
∴∠AOD=∠AMN，
∴MN∥OD，
連接O′G，過(guò)G作GK⊥OA于點(diǎn)K，過(guò)M作MH⊥OD于點(diǎn)H，
∵M(jìn)N是⊙O′的切線，G為切點(diǎn)，
∴O′G⊥MN，
∴∠O′GM=∠OO′G=90°，
∵M(jìn)H⊥OD，
∴∠O′BM=∠OHM=90°，
∴四邊形O′HMG是矩形，
∴HM=O′G=

5

，MG=O′H，
∵在Rt△OHM中，tan∠HOM=2，
∴OH=

5

2

，OM=

5

2

，
∴O′H=MG=

5

2

，
∵在Rt△GKM中，tan∠GMK=2，
∴GK=1，MK=

1

2

，
∴OK=3，
∴G（3，1），
∵OM+AM=OA，
∴

5

2

+2t=4，
∴t=

3

4

，
②當(dāng)AM＞4時(shí)，如圖d，同理可求當(dāng)t=

13

4

時(shí)，切點(diǎn)G（-1，3），
∴當(dāng)t=

3

4

或

13

4

時(shí)，直線MN與過(guò)D、E、O三點(diǎn)的圓相切，切點(diǎn)分別為G（3，1）或（-1，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，主要考查了學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，本題綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．