Question

2．已知△ABC是等邊三角形，點D是直線AC上的點，點E是直線BC上的點，且DB=DE，
（1）當點D在線段AC上（不與A，C重合）時，易證AD=CE；
（2）當點D在CA的延長線上；如圖（3），當點D在AC的延長線上時，線段AD與CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的猜想，并在圖（2）和圖（3）中選擇一種情況給予證明．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作DM∥AB交CB于M．首先證明AD=BM．再證明△DBM≌△DEC，推出BM=CE，即可證明；
（2）如圖2中，作DM∥AB交CB的延長線于M．首先證明AD=BM．再證明△DBM≌△DEC，推出BM=CE，即可證明；如圖3中，作DM∥AB交BC的延長線于M．證明方法類似；

解答 解：（1）如圖1中，作DM∥AB交CB于M．

∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠DMC=60°，∠BAC=∠MDC=60°，
∴△DMC是等邊三角形，
∴DM=DC=CM，∠DMC=∠DCM=60°，
∴∠DMB=∠DCE
∵CA=CB，
∴BM=AD，
∵DB=DE，
∴∠DBE=∠E，
在△DBM和△DEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBM=∠E}\\{∠DMB=∠DCE}\\{DB=DE}\end{array}\right.$，
∴△DBM≌△DEC，
∴BM=CE，
∴AD=EC．

（2）結(jié)論：不變．AD=EC．
理由：如圖2中，作DM∥AB交CB的延長線于M．

∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠M=60°，∠BAC=∠MDC=60°，
∴△DMC是等邊三角形，
∴DM=DC=CM，∠M=∠C=60°，
∵CA=CB，
∴BM=AD，
∵DB=DE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴∠DBM=∠DEC，
在△DBM和△DEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠C}\\{∠DBM=∠DEC}\\{DB=DE}\end{array}\right.$，
∴△DBM≌△DEC，
∴BM=CE，
∴AD=EC．

如圖3中，作DM∥AB交BC的延長線于M．

∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠DMC=60°，∠BAC=∠MDC=60°，
∴△DMC是等邊三角形，
∴DM=DC=CM，∠DMB=∠DCM=60°，
∵CA=CB，
∴BM=AD，
∵DB=DE，
∴∠DBE=∠DEB，
∴∠DBM=∠DEC，
在△DBM和△DEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DMB=∠DCE}\\{∠DBM=∠E}\\{DM=DC}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△DEC，
∴BM=CE，
∴AD=EC．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．