Question

如圖，BC為⊙O的直徑，以BC為直角邊作Rt△ABC，∠ACB=90°，斜邊AB與⊙O交于點D，過點D作⊙O的切線DE交AC于點E，DG⊥BC于點F，交⊙O于點G．

（1）求證：AE=CE；
（2）若AD=4，AE=，求DG的長．

Answer 1

（1）證明：連結CD，                 

20題圖

∵BC為⊙O的直徑，∠ACB=90°，

∴AC是⊙O的切線.
又∵DE與⊙O相切，
∴ED="EC"
∴∠1=∠3.
∵BC為⊙O的直徑，
∴∠BDC=90°.
∵∠1+∠2=∠3+∠A=90°,
∴∠A=∠2.
∴ED=EA.
∴AE=CE.
（2）解：∵AE=,
∴AC=2AE=．
在Rt△ACD中， 
∴
∵∠3+∠4=∠3+∠A=90°,
∴∠A=∠4.
∴
∴ 
∵DG⊥BC于點F，
∴DG=2DF=．

解析試題分析：（1）連結CD，根據(jù)切線的判定可得AC是⊙O的切線，根據(jù)切線長定理可得ED="EC" ，可得∠1=∠3，由BC為⊙O的直徑，可得∠BDC=90°，可推出∠A=∠2.，可得ED=EA，據(jù)此即可得出結論；（2）由（1）可求出AC的值，根據(jù)勾股定理可得CD的值，可得 ，根據(jù)DG⊥BC，可得DG=2DF，計算即可得出答案.
考點：圓周角定理；切線長定理；切線的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形；垂徑定理.
點評：本題主要考查了圓周角定理，切線長定理，切線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，垂徑定理.解答本題的關鍵是熟練掌握基本定理的綜合運用.