Question

11．點(diǎn)P是邊長8$\sqrt{3}$的正三角形ABC的內(nèi)切圓的一個(gè)動點(diǎn)，求BP+$\frac{1}{2}$PC的最小值2$\sqrt{21}$．

Answer 1

分析 設(shè)O是△ABC內(nèi)切圓的圓心，D是切點(diǎn)，連接CD交⊙O于F，CP交⊙O于G，E為CD的中點(diǎn)，連接BE，作EN⊥BC于．首先證明PB+$\frac{1}{2}$PC=PB+PE，當(dāng)B，P，E共線時(shí)，PB+$\frac{1}{2}$PC=PB+PE=BE取最小值，

解答 解：設(shè)O是△ABC內(nèi)切圓的圓心，D是切點(diǎn)，連接CD交⊙O于F，CP交⊙O于G，E為CD的中點(diǎn)，連接BE，作EN⊥BC于．
∵△ABC是等邊三角形，
∴CD⊥AB，
∴D是⊙O與AB的切點(diǎn)，O為△ABC的重心，
∴OD=$\frac{1}{3}$CD，
∵CD=BC•cos30°=8$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=12，OD=OF=CF=4，
∴CO=8，CE=6，OG=4，
由切割線定理得，CG•CP=CF•CD=4×12=CO•CE，即$\frac{CG}{CO}=\frac{CE}{CP}$，
∴△ECP∽△GCO，
∴$\frac{PE}{PC}=\frac{OG}{OC}$=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$，
∵B，E均為定點(diǎn)，
∴BP+$\frac{1}{2}$PC=BP+PE≤BE，
∴當(dāng)B，P，E共線時(shí)，PB+$\frac{1}{2}$PC=PB+PE=BE取最小值，
在RT△ECN中，∵∠BCE=30°，EC=6，
∴EN=3，CN=3$\sqrt{3}$，BN=5$\sqrt{3}$
∴BE=$\sqrt{E{N}^{2}+B{N}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（5\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{21}$，
綜上，BP+$\frac{1}{2}$PC的最小值是2$\sqrt{21}$．
故答案為2$\sqrt{21}$．

點(diǎn)評 本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，等邊三角形的性質(zhì)，切線的判定和性質(zhì)，切割線定理，余弦定理，熟練掌握切割線定理，添加輔助線是解題的關(guān)鍵．