Question

如圖，第一象限內(nèi)半徑為2的⊙C與y軸相切于點A，作直徑AD，過點D作⊙C的切線l交x軸于點B，P為直線l上一動點，已知直線PA的解析式為：y=kx+3。
（1） 設(shè)點P的縱坐標為p，寫出p隨k變化的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)⊙C與PA交于點M，與AB交于點N，則不論動點P處于直線l上（除點B以外）的什么位置時，都有△AMN∽△ABP。請你對于點P處于圖中位置時的兩三角形相似給予證明；
（3）是否存在使△AMN的面積等于的k值？若存在，請求出符合的k值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）∵y軸和直線l都是⊙C的切線， ∴OA⊥AD，BD⊥AD， 又∵OA⊥OB， ∴∠AOB=∠OAD=∠ADB=90°， ∴四邊形OADB是矩形， ∵⊙C的半徑為2， ∴AD=OB=4， ∵點P在直線l上， ∴點P的坐標為（4，p）， 又∵點P也在直線AP上， ∴p=4k+3；
（2）連接DN， ∵AD是⊙C的直徑， ∴∠AND=90°， ∵∠AND=90°-∠DAN，∠ABD=90°-∠DAN， ∴∠AND=∠ABD， 又∵∠ADN=∠AMN， ∴∠ABD=∠AMN， ∵∠MAN=∠BAP， ∴△AMN∽△ABP；
（3）存在， 理由如下： 把x=0代入y=kx+3，得y=3，即OA=BD=3， ∴AB=， ∵ S△ABD=AB·DN=AD·DB， ∴DN=， ∴AN2=AD2-DN2=， ∵△AMN∽△ABP， ∴ 即， 當點P在B點上方時， ∵AP2=AD2+PD2=AD2+（PB-BD）2=42+（4k+3-3）2=16（k2+1）， 或AP2=AD2+PD2= AD2+（BD-PB）2=42+（3-4k-3）2=16（k2+1）， S△ABP=PB·AD=（4k+3）×4=2（4k+3）， ∴， 整理得k2-4k-2=0， 解得k1=2+，k2=2-， 當點P在B 點下方時， ∵AP2=AD2+PD2=42+（3-4k-3）2=16（k2+1）， S△ABP=PB·AD=[-（4k+3）]×4=-2（4k+3）， ∴， 整理得k2+1=-（4k+3）， 解得k=-2， 綜合以上所得，當k=2±或k=-2時，△AMN的面積等于。