Question

如圖，一塊直徑為10cm（即AB=10cm）的量角器，若將量角器與∠MPN按如圖1疊放（A與P重合，AB與PM重合），并已知點(diǎn)B、C、A處的讀數(shù)分別為0°、40°、180°．

（1）∠MPN的度數(shù)是

 

．
（2）求線段PC的長(zhǎng)．
（3）在圖1的狀態(tài)下，∠MPN不動(dòng)，將量角器沿著射線PM向右平移（如圖2），問(wèn)平移多少厘米后量角器與PN相切于點(diǎn)D？切點(diǎn)D處的讀數(shù)是多少？（可用計(jì)算器，結(jié)果精確到0.1cm）

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),圓周角定理,解直角三角形

專(zhuān)題：

分析：（1）如圖1，連接OC，利用“在同圓中，同弧所對(duì)的圓周角是所對(duì)的圓心角的一半”填空；
（2）如圖1，連接BC．構(gòu)建直角△ACB，通過(guò)解直角三角形來(lái)求PC的長(zhǎng)度；
（3）如圖2，連接OD．利用切線的性質(zhì)判定△PDO是直角三角形，通過(guò)解該直角三角形來(lái)求PA的長(zhǎng)度；由三角形外角定理來(lái)求點(diǎn)D所表示的讀數(shù)．

解答：解：（1）如圖1，
∵點(diǎn)B、C、A處的讀數(shù)分別為0°、40°、180°，
∴∠COB=40°，
∴∠MPN=

1

2

∠COB=20°．
故填：20°；

（2）如圖1，連接BC．
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴cos20°=

PC

AB

．
即PC=AB•cos20°=10×cos20°≈10×0.94=9.4（cm）；

（3）如圖2，連接OD．
∵PD與半圓切于點(diǎn)D，
∵∠PDO=90°．
則在Rt△PDO中，由于∠P=20°，OD=5cm，
∴sin20°=

5

OP

，OP=

5

sin20°

≈14.6．
∴PA=14.6-5=9.6（cm）．
又∵∠DOM=90°+20°=110°，
∴切點(diǎn)D處的讀數(shù)為110°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理和解直角三角形．解題時(shí)，需要熟悉量角器的使用方法．