Question

12．已知：點(diǎn)M、P、N、Q依次是正方形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上一點(diǎn)（不與正方形的頂點(diǎn)重合），給出如下結(jié)論：
①M(fèi)N⊥PQ，則MN=PQ；
②MN=PQ，則MN⊥PQ；
③△AMQ≌△CNP，則△BMP≌△DNQ；
④△AMQ∽△CNP，則△BMP∽△DNQ
其中所有正確的結(jié)論的序號(hào)是①②③．

Answer 1

分析 連接QM，MP，PN，PQ，過(guò)N作NE⊥AB于E，過(guò)Q作QF⊥BC于F，得到四邊形BCNE，四邊形CDQF是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到EN=BC，QF=CD，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=BC=CD=AD，證得NE=QF，通過(guò)全等三角形的性質(zhì)得到MN=PQ；根據(jù)已知條件得到Rt△PQF≌Rt△MNE，由全等三角形的性質(zhì)得到∠PQF=∠MNE，根據(jù)余角的性質(zhì)即可得到MN⊥PQ；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AM=CN，PC=AQ，由線段的和差得到PB=QD，BM=DN，于是得到△BMP≌△DNQ，由△AMQ∽△CNP和已知條件推不出△BMP∽△DNQ的條件．

解答 解：連接QM，MP，PN，PQ，過(guò)N作NE⊥AB于E，過(guò)Q作QF⊥BC于F，
則四邊形BCNE，四邊形CDQF是矩形，
∴EN=BC，QF=CD，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，
∴NE=QF，
①∵M(jìn)N⊥PQ，
∴∠PQF=∠MNE，
在△PQF與△MNE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PQF=∠ENM}\\{QF=MN}\\{∠QFP=∠NEM}\end{array}\right.$，
∴△PQF≌△MNE，
∴MN=PQ；
②在Rt△PQF與Rt△MNE中，$\left\{\begin{array}{l}{QF=NE}\\{PQ=MN}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴Rt△PQF≌Rt△MNE，
∴∠PQF=∠MNE，
∵∠PQF+∠1=90°，
∴∠MNE+∠1=90°，
∴MN⊥PQ；
③∵△AMQ≌△CNP，
∴AM=CN，PC=AQ，
∴PB=QD，BM=DN，
在△BMP與△DNQ中，$\left\{\begin{array}{l}{BM=DN}\\{∠B=∠D}\\{PB=DQ}\end{array}\right.$，
∴△BMP≌△DNQ，
④由△AMQ∽△CNP和已知條件推不出△BMP∽△DNQ的條件．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．