Question

9．如圖，在菱形ABCD中，AB=8，∠B=60°，P是AB上一點(diǎn)，BP=5，Q是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)，將四邊形APQD沿直線PQ折疊，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′．當(dāng)CA′的長(zhǎng)度最小時(shí)，則CQ的長(zhǎng)為（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 6.5
• D． 7

Answer 1

分析 由A′P=3可知點(diǎn)A′在以P為圓心以PA′為半徑的弧上，故此當(dāng)C，P，A′在一條直線上時(shí)，CA′有最小值，過點(diǎn)C作CH⊥AB，垂足為H，先求得BH、HC的長(zhǎng)，則可得到PH的長(zhǎng)，然后再求得PC的長(zhǎng)，最后依據(jù)折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可證明△CQP為等腰三角形，則可得到QC的長(zhǎng)．

解答 解：如圖所示：過點(diǎn)C作CH⊥AB，垂足為H．

在Rt△BCH中，∠B=60°，BC=8，則BH=$\frac{1}{2}$BC=4，CH=sin60°•BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×8=4$\sqrt{3}$．
∴PH=1．
在Rt△CPH中，依據(jù)勾股定理可知：PC=$\sqrt{（4\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=7．
由翻折的性質(zhì)可知：∠APQ=∠A′PQ．
∵DC∥AB，
∴∠CQP=∠APQ．
∴∠CQP=∠CPQ．
∴QC=CP=7．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是菱形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，翻折的性質(zhì)、等腰三角形的判定，判斷出CA′取得最小值的條件是解題的關(guān)鍵．