Question

如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿線段BC向點(diǎn)C做勻速運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DA向點(diǎn)A做勻速運(yùn)動(dòng)，過Q點(diǎn)垂直于AD的射線交AC于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N、P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒1個(gè)單位長度，當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒。
（1）求NC、MC的長（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形？
（3）是否存在某一時(shí)刻，使射線QN恰好將△ABC的面積和周長同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請說明理由；
（4）探究：t為何值時(shí)，△PMC為等腰三角形？

Answer 1

解：（1）在直角梯形ABCD中， ∵QN⊥AD，∠ABC=90°， ∴四邊形ABNQ是矩形， ∵QD=t，AD=3， ∴BN=AQ=3-t， ∴NC=BC-BN=4-（3-t）=t+1， ∵AB=3，BC=4，∠ABC=90°， ∴AC=5， ∵AB∥QN， ∴MN∥AB， ∴ 即， ∴；
（2）當(dāng)QD=CP時(shí)，四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形， ∴當(dāng)t=4-t，即t=2時(shí)，四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形；
（3）∵M(jìn)N∥AB， ∴△MNC∽△ABC， 要使射線QN將△ABC的面積平分，則△MNC與△ABC的面積比為1：2，即相似比為， ∴ 即， ∴， ∴， ∴ ∵△ABC的周長的一半， ∴不存在某一時(shí)刻，使射線QN恰好將△ABC的面積和周長同時(shí)平分；
（4）分3種情況： ①如圖（1）， 當(dāng)PM=MC時(shí)，△PMC為等腰三角形， 則PN=NC，即3-t-t=t+1， ∴， 即時(shí)，△PMC為等腰三角形； ②如圖（2），當(dāng)CM=PC時(shí)，△PMC為等腰三角形， 即，解得 ∴時(shí)，△PMC為等腰三角形； ③如圖（3），當(dāng)PM=PC時(shí)，△PMC為等腰三角形， ∵PC=4-t，NC=t+1， ∴PN=2t-3， 又∵， ∴， 由勾股定理可得， 解得，t2=-1（舍去）， 即當(dāng)時(shí)，△PMC為等腰三角形， 綜上所述，當(dāng)t=，，時(shí)，△PMC為等腰三角形。