Question

如圖，△ABC的邊BC在直線m上，AC⊥BC，且AC＝BC，△DEF的邊FE也在直線m上，邊DF與邊AC重合，且DF＝EF．

（1）在圖（1）中，請你通過觀察、思考、猜想并寫出AB與AE所滿足的數量關系和位置關系；（不要求證明）

（2）將△DEF沿直線m向左平移到圖（2）的位置時，DE交AC于點G，連接AE，BG．猜想BG、AE有什么數量和位置關系？請證明你的猜想．

Answer 1

【解析】

試題分析：（1）根據圖形就可以猜想出結論．

（2）要證BG=AE，可以轉化為證明Rt△BCG≌Rt△ACE；要證明BG⊥AE，可以證明∠GMA=90°，只要證出∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠3=90°即可證出．

試題解析：（1）AB＝AE，AB⊥AE．

（2）BG=AE；BG⊥AE．理由如下：

證明：由已知，得DF=EF，EF⊥DF，

∴∠DEF=45°．

又∵AC⊥BC，

∴∠CGE=∠CEG=45°．

∴CG=CE．

∵在Rt△BCG和Rt△ACE中，

BC=AC，∠BCG=∠ACE=90°，CG=CE，

∴△BCG≌△ACE（SAS），

∴BQ=AP．

如圖，延長BQ交AE于點M．

∵Rt△BCG≌Rt△ACE，

∴∠1=∠2．

∵在Rt△BCG中，∠1+∠3=90°，又∠3=∠4，

∴∠2+∠4=∠1+∠3=90°．

∴∠GMA=90°．

∴BG⊥AE．

考點：三角形全等的判定和性質．