Question

16．已知：二次函數(shù)y=mx²-（m+1）x+1．
（1）求證：該拋物線與x軸總有交點；
（2）若m為整數(shù)，當一元二次方程mx²-（m+1）x+1=0的根都是整數(shù)時，求m的值．

Answer 1

分析 （1）先計算判別式的值得到△=（m-1）²，利于非負數(shù)的性質(zhì)可判斷△≥0，然后根據(jù)△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點，△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點可得到結論；
（2）先利用公式法解方程得到x₁=1，x₂=$\frac{1}{m}$，然后利用整數(shù)的整除性確定m的值．

解答 （1）證明：△=（m-1）²-4m=（m-1）²，
∵（m-1）²≥0，
∴△≥0，
∴該拋物線與x軸總有交點；
（2）解：∵x=$\frac{m+1±|m-1|}{2m}$，
∴x₁=1，x₂=$\frac{1}{m}$，
當m為整數(shù)1或-1時，x₂為整數(shù)，該方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，
∴m的值為1或-1．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關于x的一元二次方程．對于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)：△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．