Question

如圖，已知直線y=

3

4

x-1與y軸交于點(diǎn)C，將拋物線y=-

1

4

（x-2）²向上平移n個(gè)單位（n＞0）后與x軸交于A，B兩點(diǎn)．
（1）直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)經(jīng)過(guò)C，A，B三點(diǎn)的圓的面積最小時(shí)，
①求n的值；
②在y軸右側(cè)的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得⊙P既與直線y=

3

4

x-1相切，又與y軸相切？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由直線y=

3

4

x-1與y軸交于點(diǎn)C，令x=0，求得y的值，即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）①首先設(shè)平移后二次函數(shù)的解析式為y=-

1

4

（x-2）²+n，由過(guò)C，A，B三點(diǎn)的圓的圓心一定在直線x=2上，點(diǎn)C為定點(diǎn)，即可得：當(dāng)圓的半徑等于點(diǎn)C到直線x=2的距離時(shí)，圓的半徑最小，從而圓的面積最小，則可求得n的值；
②分別從當(dāng)點(diǎn)P在直線AC下方時(shí)與當(dāng)點(diǎn)P在直線AC上方時(shí)去分析，借助于相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得答案．

解答：解：
（1）令x=0，y=0-1=-1，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)（0，-1）；

（2）①平移后二次函數(shù)的解析式為y=-

1

4

（x-2）²+n，
由題意知：過(guò)C，A，B三點(diǎn)的圓的圓心一定在直線x=2上，點(diǎn)C為定點(diǎn)．
∴當(dāng)圓的半徑等于點(diǎn)C到直線x=2的距離時(shí)，圓的半徑最小，從而圓的面積最�。�
此時(shí)，圓的半徑為2，面積為4π．
設(shè)圓心為M，直線x=2與x軸交于點(diǎn)D，連接AM，則AM=2，
∵CM=2，OC=1，∴DM=1．
在Rt△AMD中，AD=

AM2-DM2

=

22-12

=

3

，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2-

3

，0），代入拋物線得n=

3

4

．
∴當(dāng)n=

3

4

時(shí)，過(guò)C，A，B三點(diǎn)的圓的面積最小，最小面積為4π；

②如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在直線y=

3

4

x-1下方時(shí)，
設(shè)直線y=

3

4

x-1與x軸相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥EC于點(diǎn)N，PM∥y軸交EC于點(diǎn)M，則∠PMN=∠OCE，∠PNM=∠COE=90°，
∴△PMN∽△ECO，
∴

PM

CE

=

PN

OE

，
令y=

3

4

x-1=0．則x=

4

3

，即OE=

4

3

，CE=

5

3

，
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則PM=MH+PH，
即PM=

3

4

m-1+

1

4

（m-2）²-

3

4

=

1

4

（m²-m-3），
∴PN=

PM•OE

CE

=

1

5

（m²-m-3），
根據(jù)題意，

1

5

（m²-m-3）=m，
解得m₁=3+2

3

，m₂=3-2

3

（不合題意，舍去），
即點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3+2

3

，-

5

2

-

3

），
當(dāng)點(diǎn)P在直線y=

3

4

x-1上方時(shí)，同理可得

1

5

（m²-m-3）=-m，
解得m₃=-

7

-2（不合題意，舍去），m₄=

7

-2，即點(diǎn)P的坐標(biāo)是（

7

-2，2

7

-5），
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3+2

3

，-

5

2

-

3

）或（

7

-2，2

7

-5）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的特點(diǎn)，二次函數(shù)的平移以及圓的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．