Question

已知x₁，x₂是關(guān)于x的方程x²-（k+1）x+

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4

k²+1=0的兩根．
（1）k取何值時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；  
（2）若兩根為x₁，x₂，滿足x²₁+x²₂=5，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：

分析：（1）由x的一元二次方程x²-（k+1）x+

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4

k²+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可得△≥0即可求出k的取值范圍；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及x²₁+x²₂=5，即可求出k的值．

解答：解：（1）∵方程x²-（k+1）x+

1

4

k²+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴△=（k+1）²-4（

1

4

k²+1）≥0，
解得：k≥

3

2

，
∴k的取值范圍：k≥

3

2

；
（2）∵一元二次方程x²-（k+1）x+

1

4

k²+1=0兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x₁和x₂，
∴x₁+x₂=k+1，x₁x₂=

1

4

k²+1，
∵x₁²+x₂²=5，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=5，
即（k+1）²-2（

1

4

k²+1）=5，
解得：k=-6或k=2，
∵k≥

3

2

，
∴k=2．

點(diǎn)評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式，關(guān)鍵是掌握x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，反過來也成立，即

b

a

=-（x₁+x₂），

c

a

=x₁x₂．