Question

【題目】已知拋物線y=x2+kx+2k﹣4

（1）當(dāng)k=2時，求出此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）求證：無論k為任何實數(shù)，拋物線都與x軸有交點(diǎn)，且經(jīng)過x軸一定點(diǎn)；

（3）已知拋物線與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0）兩點(diǎn)（A在B的左邊），|x1|＜|x2|，與y軸交于C點(diǎn)，且S△ABC=15．問：過A，B，C三點(diǎn)的圓與該拋物線是否有第四個交點(diǎn)？試說明理由．如果有，求出其坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣1）．（2）證明見解析；（3）（1，﹣6）．

【解析】解：（１）當(dāng)＝２時，拋物線為＝＋，…………………………１分

配方： ＝＋＝＋＋１－１

得＝－１，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（－１，－１）；………………………………………………３分

（也可由頂點(diǎn)公式求得）

（２）令＝０，有＋＋－4＝０，………………………………４分

此一元二次方程根的判別式

⊿＝－４·（－４）＝－＋１６＝，…………………５分

∵無論為什么實數(shù)， ≥０，

方程＋＋－4＝０都有解，…………………………………………６分

即拋物線總與軸有交點(diǎn)．

由求根公式得＝，………………………………………………７分

當(dāng)≥４時， ＝，

1＝＝－２， 2＝＝－＋２；

當(dāng)＜４時， ＝，

1＝＝－＋２， 2＝＝－２．

即拋物線與軸的交點(diǎn)分別為（－２，０）和（－＋２，０），

而點(diǎn)（－２，０）是軸上的定點(diǎn)；…………………………………………８分

（３）過Ａ，Ｂ，Ｃ三點(diǎn)的圓與該拋物線有第四個交點(diǎn)．…………………９分

設(shè)此點(diǎn)為Ｄ．∵| 1|＜| 2|，C點(diǎn)在y軸上，

由拋物線的對稱，可知點(diǎn)Ｃ不是拋物線的頂點(diǎn)．……………………………１０分

由于圓和拋物線都是軸對稱圖形，

過Ａ、Ｂ、Ｃ三點(diǎn)的圓與拋物線組成一個軸對稱圖形．……………………１１分

∵軸上的兩點(diǎn)Ａ、Ｂ關(guān)于拋物線對稱軸對稱，

∴過Ａ、Ｂ、Ｃ三點(diǎn)的圓與拋物線的第四個

交點(diǎn)Ｄ應(yīng)與C點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱軸對稱．……………………………………１２分

由拋物線與軸的交點(diǎn)分別為（－２，０）和（－＋２，０）：

當(dāng)－２＜－＋２，即＜４時，…………………………１３分

Ａ點(diǎn)坐標(biāo)為（－２，０），Ｂ為（－＋２，０）．

即1＝－２， 2＝－＋２．

由| 1|＜| 2|得－＋２＞２，解得＜０．

根據(jù)Ｓ△ABC＝１５，得ＡＢ·ＯＣ＝１５．

ＡＢ＝－＋２－（－２）＝４－，

ＯＣ＝|２－４|＝４－２，

∴（４－）（４－２）＝１５，

化簡整理得＝０，

解得＝７（舍去）或＝－１．

此時拋物線解析式為＝，

其對稱軸為＝，Ｃ點(diǎn)坐標(biāo)為（０，－６），

它關(guān)于＝的對稱點(diǎn)Ｄ坐標(biāo)為（１，－６）；………………………………１４分

當(dāng)－２＞－＋２，由Ａ點(diǎn)在Ｂ點(diǎn)左邊，

知Ａ點(diǎn)坐標(biāo)為（－＋２，０），Ｂ為（－２，０）．

即1＝－＋２， 2＝－２．

但此時| 1|＞| 2|，這與已知條件| 1|＜| 2|不相符，

∴不存在此種情況．

故第四個交點(diǎn)的坐標(biāo)為（１，－６）．

（如圖６）

（１）把＝２代入拋物線，通過配方可求得此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)

（2）令y=0，解方程＋＋－4，即可求出拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，定點(diǎn)為與k值無關(guān)的點(diǎn)；

（3）過A、B、C三點(diǎn)的圓與拋物線有第四個交點(diǎn)D，根據(jù)A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，討論k的范圍，表示△ABC的面積，列方程求k，再根據(jù)對稱性求D點(diǎn)坐標(biāo)