Question

16．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，點D，E分別是邊BC，AC的中點，連接DE．將△EDC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)△EDC旋轉(zhuǎn)到A，D，E三點共線時，線段BD的長為4$\sqrt{5}$或$\frac{12}{5}\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 分兩種情況分析，A、D、E三點所在直線與BC不相交和與BC相交，然后利用勾股定理分別求解即可求得答案．

解答 解：①如圖1，
，
∵AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，CD=4，CD⊥AD，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{5}）^{2}-{4}^{2}}$=$\sqrt{80-16}$=8，
∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴BD=AC=4$\sqrt{5}$．
②如圖2，連接BD，過點D作AC的垂線交AC于點Q，過點B作AC的垂線交AC于點P，
，
∵AC=4$\sqrt{5}$，CD=4，CD⊥AD，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{5}）^{2}-{4}^{2}}$=8，
∵點D、E分別是邊BC、AC的中點，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴AE=AD-DE=8-2=6，
∵∠ECD=∠ACB，
∴∠ECA=∠DCB，
又∵$\frac{EC}{DC}$=$\frac{AC}{BC}$，
∴△ECA∽△DCB，
∴$\frac{AE}{BD}$=$\frac{EC}{DC}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴BD=$\frac{6}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．
綜上所述，BD的長為4$\sqrt{5}$或$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，
故答案為：4$\sqrt{5}$或$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與勾股定理是解題的關(guān)鍵．