Question

（12分）如圖，P是等邊三角形ABC內的一點，連結PA、PB、PC，以BP為邊作等邊三角形BPM，連結CM.

（1）觀察并猜想AP與CM之間的大小關系，并說明你的結論；
（2）若PA:PB:PC=1::，試判斷△PMC的形狀，并說明理由.

Answer 1

解：（１）AP=CM.
證明:因為△ABC是等邊三角形,所以AB="BC," ∠ABC＝60°,而△PBM也是等邊三角形,所以PB="MB," ∠PBM＝60°,則∠ABP＝∠MBC.所以△ABP≌△CBM．所以AP＝CM.
(2) △PMC是直角三角形.
因為 PA:PB:PC=1::,設PA="k," PB=k, PC=k.因為△PBM是等邊三角形,
所以PM= PB=k.又因為由(1)知AP=CM,所以CM="PA=k." 則,, ,,且,即.所以△PMC是直角三角形.且∠PMC＝90°.解析:
略