Question

6．已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（5，0），點(diǎn)B是y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)B、OA為邊作矩形OBCA，點(diǎn)E、H分別在邊BC和邊OA上，將△BOE沿著OE對(duì)折，使點(diǎn)B落在OC上的F點(diǎn)處，將△ACH沿著CH對(duì)折，使點(diǎn)A落在OC上的G點(diǎn)處．
（1）如圖1，求證：四邊形OECH是平行四邊形；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到使得點(diǎn)F、G重合時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)，并判斷四邊形OECH是什么四邊形？說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到使得點(diǎn)F，G將對(duì)角線OC三等分時(shí)，如圖3，如圖4，分別求點(diǎn)B的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）只要證明∠EOC=∠OCH，可得OE∥CH，EC∥OH即可證明；
（2）B的坐標(biāo)是（0，$\frac{5\sqrt{3}}{3}$）；四邊形OECH是菱形；首先根據(jù)對(duì)角線相互垂直的平行四邊形是菱形，判斷四邊形OECH是菱形，即可推出∠EOB=∠EOC=∠ECO=30°，由此即可解決問(wèn)題；
（3）分兩種情形求解即可：①當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)O，G之間時(shí)，如圖3；②當(dāng)點(diǎn)G在O，F(xiàn)之間時(shí)，如圖4；

解答 （1）證明：如圖1，

∵四邊形OBCA為矩形，
∴OB∥CA，BC∥OA，
∴∠BOC=∠OCA，
又∵△BOE沿著OE對(duì)折，使點(diǎn)B落在OC上的F點(diǎn)處；△ACH沿著CH對(duì)折，使點(diǎn)A落在OC上的G點(diǎn)處，
∴∠BOC=2∠EOC，∠OCA=2∠OCH，
∴∠EOC=∠OCH，
∴OE∥CH，
又∵BC∥OA，
∴四邊形OECH是平行四邊形；

（2）解：點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，$\frac{5\sqrt{3}}{3}$）；四邊形OECH是菱形．理由如下：如圖2，

∵△BOE沿著OE對(duì)折，使點(diǎn)B落在OC上的F點(diǎn)處；△ACH沿著CH對(duì)折，使點(diǎn)A落在OC上的G點(diǎn)處，
∴∠EFO=∠EBO=90°，∠CFH=∠CAF=90°，
∵點(diǎn)F，G重合，
∴EH⊥OC，
又∵四邊形OECH是平行四邊形，
∴平行四邊形OECH是菱形，
∴EO=EC，
∴∠EOC=∠ECO，
又∵∠EOC=∠BOE，
∴∠EOB=∠EOC=∠ECO=30°，
又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（5，0），
∴OA=5，
∴BC=5，
在Rt△OBC中，OB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BC=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，$\frac{5\sqrt{3}}{3}$）；

（3）解：①當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)O，G之間時(shí)，如圖3，

∵△BOE沿著OE對(duì)折，使點(diǎn)B落在OC上的F點(diǎn)處；△ACH沿著CH對(duì)折，使點(diǎn)A落在OC上的G點(diǎn)處，
∴OF=OB，CG=CA，
而OB=CA，
∴OF=CG，
∵點(diǎn)F，G將對(duì)角線OC三等分，
∴AC=OF=FG=GC，
設(shè)AC=m，則OC=3m，
在Rt△OAC中，OA=5，
∵AC²+OA²=OC²，
∴m²+5²=（3m）²，解得m=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，
∴OB=AC=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，$\frac{5\sqrt{2}}{4}$）；
②當(dāng)點(diǎn)G在O，F(xiàn)之間時(shí)，如圖4，

同理可得OF=CG=AC，
設(shè)OG=n，則AC=GC=2n，
在Rt△OAC中，OA=5，
∵AC²+OA²=OC²，
∴（2n）²+5²=（3n）²，解得n=$\sqrt{5}$，
∴AC=OB=2 $\sqrt{5}$，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，2 $\sqrt{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握矩形的性質(zhì)、平行四邊形和菱形的判定方法和折疊的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．