Question

如圖在8×8的正方形網(wǎng)格中建立直角坐標(biāo)系，已知A（2，4），B（4，2）．C是第一象限內(nèi)的一個(gè)格點(diǎn)，由點(diǎn)C與線段AB組成一個(gè)以AB為底，且腰長為無理數(shù)的等腰三角形．
（1）填空：C點(diǎn)的坐標(biāo)是

（1，1）

，△ABC的面積是

4

；
（2）將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)360°，求出在旋轉(zhuǎn)過程中線段AB所掃過的面積．

Answer 1

分析：（1）作線段AB的垂直平分線，第一象限內(nèi)有3個(gè)格點(diǎn)，符合條件的只有一個(gè)（1，1），再利用面積公式求解即可；
（2）線段AB所掃過的面積是一個(gè)圓環(huán)的面積，計(jì)算出以點(diǎn)C為圓心以BC為半徑的圓的面積，以點(diǎn)C為圓心，以CD為半徑的圓的面積，相減即可得出答案．

解答：解：（1）

由圖形可得符合題意的點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，1），
S_△ABC=

1

2

AB×CD=

1

2

×2

2

×2

2

=4．
（2）由（1）得，CA=

10

，CD=2

2

，
線段AB所掃過的面積為：以C為圓心以BC為半徑的圓的面積-以C為圓心以CD為半徑的圓的面積，

S=10π-8π=2π．

點(diǎn)評：此題考查了勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，難點(diǎn)在第二問，關(guān)鍵是分析出線段AB掃過的面積的形狀，難度一般．