Question

二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0，b＜0）的圖象和x軸，y軸都只有一個交點，它們分別為P、Q，已知|PQ|=2

2

，且有b+2bc=0，另一個一次函數(shù)y=x+m的圖象過P點，并與這個二次函數(shù)圖象交于另一點R，求△PQR的面積．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：

分析：根據(jù)圖象與x軸只有一個交點，可得△等于零，解方程組，可得a、b、c的值，可得函數(shù)解析式，再解方程組，可得交點坐標，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案．

解答：解：當x=0時，y=c，二次函數(shù)與y軸的交點Q（0，c），二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0，b＜0）的圖象和x軸只有一個交點，
∴b²-4ac=0  ①
∴x=

b

2a

，與x軸的交點P的坐標是（-

b

2a

，0）．
∵|PQ|=

OP2+OQ2

=

c2+(- b 2a )2

=2

2

，
∴c²+

b2

4a2

=8  ②，又∵b+2bc=0 ③，
①②③聯(lián)立得方程組

b2-4ac=0① c2+ b2 4a2 =8② b+2bc=0③

由①得2ac=

b2

2

   ④，
把④代入③得b+

b2

2

=0，
解得 b=0不符合題意的要舍去）b=-2，
把b=-2代入②③得

c2+ 1 a2 =8 ac=1

，
解得

a= 1 2 c=2

a=- 1 2 c=2

（不符合題意的要舍去），
∴拋物線的解析式是y=

1

2

x²-2x+2，
∴P（2，0）Q（0，2），
∵y=x+m的圖象過P點，
m+2=0，解得m=-2，
直線解析式是y=x-2，
聯(lián)立拋物線解析式，得

y= 1 2 x2-2x+2 y=x-2

，
解得

x=4 y=2

，
R（4，2），
∴QR∥x，
∴S_△PQR=

1

2

QR•Q_y=

1

2

×4×2=4．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點，利用了圖象和x軸，y軸都只有一個交點，得出方程，消元解方程組，三角形的面積公式．