Question

已知a、b均為整數(shù)，直線y=ax+b與三條拋物線y=x²+3，y=x²+6x+7和y=x²+4x+5交點的個數(shù)分別是2，1，0，若bx²+ay²=6x，求x²+y²的最大值．

Answer 1

分析：把直線解析式與拋物線的解析式聯(lián)立得到關于x的一元二次方程，然后利用根與系數(shù)的關系分別列式得到關于a、b的不等式與方程，把方程變形可得4b=-（a²-12a+8），分別代入不等式組成關于a的不等式組，求解得到a的取值范圍，再根據(jù)a、b是整數(shù)求出a、b的值，代入bx²+ay²=6x并用x表示出y²，再根據(jù)非負數(shù)的性質求出x的取值范圍，再把x²+y²寫成關于x的代數(shù)式，根據(jù)二次函數(shù)的增減性求出最大值即可．

解答：解：根據(jù)題意得，x²+3=ax+b，
x²+6x+7=ax+b，
x²+4x+5=ax+b，
∵直線與三條拋物線的交點的個數(shù)分別是2，1，0，
∴△₁=a²-4×1×（3-b）=a²+4b-12＞0①，
△₂=（6-a）²-4×1×（7-b）=a²-12a+4b+8=0②，
△₃=（4-a）²-4×1×（5-b）=a²-8a+4b-4＜0③，
由②得，4b=-（a²-12a+8）④，
④分別代入①、③得，

a2-(a2-12a+8) -12＞0 a2-8a-4-(a2-12a+8)-4＜0

，
整理得

12a＞20 4a＜12

，
解得

5

3

＜a＜3，
∵a是整數(shù)，
∴a=2，
∴4b=-（2²-12×2+8）=12，
解得b=3，
∴3x²+2y²=6x，
整理得，y²=

6x-3x2

2

≥0，
∴6x-3x²≥0，
整理得，3x（x-2）≤0，

x≥0 x-2≤0

或

x≤0 x-2≥0

（無解），
解得0≤x≤2，
設Z=x²+y²，
=x²+

6x-3x2

2

，
=-

1

2

x²+3x，
=-

1

2

（x-3）²+

9

2

，
∴當x≤3時，函數(shù)值Z隨x的增大而增大，
當x=2時，Z_最大值=-

1

2

（2-3）²+

9

2

=4，
即當x=2時，x²+y²的最大值為4．

點評：本題綜合考查了二次函數(shù)的性質，根與系數(shù)的關系，非負數(shù)的性質，二次函數(shù)的最值問題，求出a、b的值并把x²+y²的整理成Z關于x的二次函數(shù)的形式是解題的關鍵．