Question

己知，如圖在直角坐標系中，矩形OABC的對角線AC所在直線的解析式為y=-

3

3

+1．
（1）求線段AC的長和∠ACO的度數(shù)；
（2）動點P從點C開始在線段CO上以每秒

3

個單位長度的速度向點O移動，動點Q從點O開始在線段OA上以每秒1個單位長度的速度向點A移動，（P、Q兩點同時開始移動）設(shè)P、Q移動的時間為t秒．
①設(shè)△BPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當t為何值時，S有最小值；
②是否存在這樣的時刻t，使得△OPQ與△BCP相似，并說明理由；
（3）在坐標平面內(nèi)存在這樣的點M，使得△MAC為等腰三角形且底角為30°，寫出所有符合要求的點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線AC的解析式可以求出直線與對稱軸的交點坐標，進而求出OA、OC的長度，根據(jù)勾股定理就可以求出AC的長度，根據(jù)三角函數(shù)可以求出∠ACO的度數(shù)．
（2）①S_△PBQ=S-S_△POQ-S_△PBC，而△PQO與△PBC的面積可以用時間t表示出來，就可以求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
②△OPQ與△BCP相似，應分△OPQ∽△CBP與△OPQ∽△CPB兩種情況進行討論．根據(jù)對應邊的比相等，就可以求出函數(shù)的解析式．
（3）△MAC為等腰三角形且底角為30°，應分AC是底邊與腰兩種情況進行討論．

解答：解：（1）令x=0得y=-

3

3

×0+1=1
∴A點坐標為（0，1）
令y=0得0=-

3

3

×x+1=1
∴x=

3

C點坐標為（

3

，0）
∴AC=

OA2+OC2

=2
在Rt△AOC中，
∵tan∠ACO=

OA

OC

=

1

3

=

3

3

∴∠ACO=30°

（2）P、Q兩點同時開始移動t秒時
①∵OQ=t，PC=

3

t
∴S_△POQ=

1

2

×|OP|×|OQ|=

1

2

3

（1-t）t
S_△PBC=

1

2

×|CP|×|BC|=

1

2

3

t×1
∵S_△PBQ=S-S_△POQ-S_△PBC
∴S_△PBQ=

3

2

(t-

1

2

)2+

3 3

8

∴當t=

1

2

時，S_△PBQ最小值為

3 3

8

．
②i假設(shè)存在△OPQ∽△CBP
∴

OP

BC

=

OQ

PC

3 (1-t)

1

=

t

3 t

∴t₁=0（舍去），t₂=

2

3

ii△OPQ∽△CPB
∴

OP

PC

=

OQ

BC

3 (1-t)

3 t

=

t

1

∴t₃=

-1+ 5

2

，t₄=

-1- 5

2

（舍去）；

（3）M₁（

3

3

，0），M₂（

2 3

3

，1），M₃（

3

，-2），M₄（2

3

，1），M₅（0，3），M₆（-

3

，0）．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)的定義，求不規(guī)則圖形的面積可以轉(zhuǎn)化為一些規(guī)則圖形的面積的和或差的問題．