Question

19．已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c+2的圖象如圖所示，頂點為（-1，0），下列結論：①abc＞0；②b²-4ac=0；③a＞2；④方程ax²+bc+c=-2的根為x₁=x₂=-1；⑤若點B（-$\frac{1}{4}$，y₁），C（-$\frac{1}{2}$，y₂）為函數(shù)圖象上的兩點，則y₂＜y₁，其中正確的個數(shù)是（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 ①首先根據(jù)拋物線開口向上，可得a＞0；然后根據(jù)對稱軸在y軸左邊，可得b＞0；最后根據(jù)拋物線與y軸的交點在x軸的上方，可得c＞0，據(jù)此判斷出abc＞0即可．
②根據(jù)二次函數(shù)y=ax²+bx+c+2的圖象與x軸只有一個交點，可得△=0，即b²-4a（c+2）=0，b²-4ac=8a＞0，據(jù)此解答即可．
③首先根據(jù)對稱軸x=-$\frac{2a}$=-1，可得b=2a，然后根據(jù)b²-4ac=8a，確定出a的取值范圍即可．
④根據(jù)頂點為（-1，0），可得方程ax²+bc+c=-2的有兩個相等實根，
⑤根據(jù)點BC在對稱軸右側，y隨x的增大而增大來判斷即可．

解答 解：∵拋物線開口向上，
∴a＞0，
∵對稱軸在y軸左邊，
∴b＞0，
∵拋物線與y軸的交點在x軸的上方，
∴c+2＞2，
∴c＞0，
∴abc＞0，
∴結論①正確；

∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c+2的圖象與x軸只有一個交點，
∴△=0，
即b²-4a（c+2）=0，
∴b²-4ac=8a＞0，
∴結論②不正確；

∵對稱軸x=-$\frac{2a}$=-1，
∴b=2a，
∵b²-4ac=8a，
∴4a²-4ac=8a，
∴a=c+2，
∵c＞0，
∴a＞2，
∴結論③正確；

∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c+2的頂點為（-1，0），
∴方程ax²+bx+c+2=0的根為x₁=x₂=-1；
∴結論④正確；
∵x＞-1，y隨x的增大而增大，
∴y₁＞y₂，
∴結論⑤正確．
綜上，可得正確結論的個數(shù)是2個：①③④⑤．
故選C．

點評 本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小：當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；②一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）③常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點． 拋物線與y軸交于（0，c）．