Question

【題目】如圖，等邊三角形的邊長為，且其三個頂點均在拋物線上．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若過原點的直線與直線分別交拋物線于點、，

①當(dāng)時，試求的面積；

②試證明：不論實數(shù)取何值，直線總是經(jīng)過一定點．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①20；②詳見解析

【解析】

（1）如圖，由題意可得OB=，∠ABO=60°，然后在Rt△BOF中，利用解直角三角形的知識求出BF和OF的長，進(jìn)而可得點B坐標(biāo)，然后代入拋物線的解析式即可求出結(jié)果；

（2）①先解方程組求出點C、D的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式，然后即可求出直線與軸的交點，再根據(jù)計算即可；

②先解方程組求出點C、D的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式，然后即可求出直線與軸的交點，進(jìn)而可得結(jié)論．

解：（1）如圖，等邊△的邊長為，

∴OB=，∠ABO=60°，

則在Rt△BOF中，BF=4，，

，

又點在拋物線上，

，解得：，

故所求的解析式為；

（2）①解方程組，得，，∴，

解方程組，得，，∴，

設(shè)直線的解析式為，

，解得：，

所以直線的解析式為，

設(shè)直線與軸交于點，則，如圖，

∵，，

；

②解方程組，得，，∴，

解方程組，得，，∴，

設(shè)直線解析式為，

，解得：，

所以直線的解析式為，

所以不論實數(shù)取何值，直線總過定點．