Question

如圖，定義：若雙曲線y=（k＞0）與它的其中一條對稱軸y=x相交于A、B兩點，則線段AB的長度為雙曲線y=（k＞0）的對徑．
（1）求雙曲線y=的對徑．
（2）若雙曲線y=（k＞0）的對徑是10，求k的值．
（3）仿照上述定義，定義雙曲線y=（k＜0）的對徑．

Answer 1

【答案】分析：過A點作AC⊥x軸于C，
（1）先解方程組，可得到A點坐標為（1，1），B點坐標為（-1，-1），即OC=AC=1，則△OAC為等腰直角三角形，得到OA=OC=，則AB=2OA=2，于是得到雙曲線y=的對徑；
（2）根據雙曲線的對徑的定義得到當雙曲線的對徑為10，即AB=10，OA=5，根據OA=OC=AC，則OC=AC=5，得到點A坐標為（5，5），把A（5，5）代入雙曲線y=（k＞0）即可得到k的值；
（3）雙曲線y=（k＜0）的一條對稱軸與雙曲線有兩個交點，根據題目中的定義易得到雙曲線y=（k＜0）的對徑．
解答：解：過A點作AC⊥x軸于C，如圖，
（1）解方程組，得，，
∴A點坐標為（1，1），B點坐標為（-1，-1），
∴OC=AC=1，
∴OA=OC=，
∴AB=2OA=2，
∴雙曲線y=的對徑是2；

（2）∵雙曲線的對徑為10，即AB=10，OA=5，
∴OA=OC=AC，
∴OC=AC=5，
∴點A坐標為（5，5），
把A（5，5）代入雙曲線y=（k＞0）得k=5×5=25，
即k的值為25；

（3）若雙曲線y=（k＜0）與它的其中一條對稱軸y=-x相交于A、B兩點，
則線段AB的長稱為雙曲線y=（k＜0）的對徑．
點評：本題考查了反比例函數綜合題：點在反比例函數圖象上，點的橫縱坐標滿足其解析式；等腰直角三角形的斜邊是直角邊的倍；強化理解能力．