Question

4．如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，半徑OD⊥BC，垂足為E，若BC=2$\sqrt{3}$，DE=1，求：
（1）⊙O的半徑；
（2）弦AC的長；
（3）陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）半徑OD⊥BC，所以由垂徑定理知：CE=BE，在直角△OCE中，根據(jù)勾股定理就可以求出OC的值；
（2）根據(jù)AB是⊙O的直徑，得到∠ACB=90°，因而在直角三角形ABC中根據(jù)勾股定理得到AC的長；
（3）陰影部分的面積就是扇形OCA的面積減去△OAC的面積．

解答 解：（1）連接OC，
∵半徑OD⊥BC，
∴CE=BE，
∵BC=2$\sqrt{3}$，
∴CE=$\sqrt{3}$，
設(shè)OC=x，在直角三角形OCE中，OC²=CE²+OE²，
∴x²=（$\sqrt{3}$）²+（x-1）²，
∴x=2
即⊙O的半徑為2；

（2）∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，AB=4，
又∵BC=2$\sqrt{3}$，
∴AC²=AB²-BC²=4，
∴AC=2；

（3）∵OA=OC=AC=2，
∴∠AOC=60°，
∴S_陰=S_扇-S_△OAC=$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×2×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{2}{3}$π-$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了垂徑定理，勾股定理以及扇形面積的計算．計算陰影部分的面積時，采用了“分割法”求得的．