Question

（2013•福州）我們知道，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式可以是y=ax²+bx（a≠0）
（1）對(duì)于這樣的拋物線(xiàn)：
當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）時(shí)，a=

-1

；
當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m），m≠0時(shí)，a與m之間的關(guān)系式是

a=-

1

m

或am+1=0

（2）繼續(xù)探究，如果b≠0，且過(guò)原點(diǎn)的拋物線(xiàn)頂點(diǎn)在直線(xiàn)y=kx（k≠0）上，請(qǐng)用含k的代數(shù)式表示b；
（3）現(xiàn)有一組過(guò)原點(diǎn)的拋物線(xiàn)，頂點(diǎn)A₁，A₂，…，A_n在直線(xiàn)y=x上，橫坐標(biāo)依次為1，2，…，n（為正整數(shù)，且n≤12），分別過(guò)每個(gè)頂點(diǎn)作x軸的垂線(xiàn)，垂足記為B₁，B₂，…，B_n，以線(xiàn)段A_nB_n為邊向右作正方形A_nB_nC_nD_n，若這組拋物線(xiàn)中有一條經(jīng)過(guò)D_n，求所有滿(mǎn)足條件的正方形邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）填空；
（2）首先，利用配方法得到拋物線(xiàn)的解析式y(tǒng)=a（x+

b

2a

）²-

b2

4a

，則易求該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)（-

b

2a

，-

b2

4a

）；
然后，把該頂點(diǎn)坐標(biāo)代入直線(xiàn)方程y=kx（k≠0），即可求得用含k的代數(shù)式表示b；
（3）根據(jù)題意可設(shè)可設(shè)A_n（n，n），點(diǎn)D_n所在的拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t）．由（1）（2）可得，點(diǎn)D_n所在的拋物線(xiàn)解析式為y=-

1

t

x²+2x．所以由正方形的性質(zhì)推知點(diǎn)D_n的坐標(biāo)是（2n，n），則把點(diǎn)D_n的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式即可求得4n=3t．然后由n、t的取值范圍來(lái)求點(diǎn)A_n的坐標(biāo)，即該正方形的邊長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），
∴

- b 2a =1 -b2 4a =1

，
解得，

a=-1 b=2

，
即當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）時(shí)，a=-1；
當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m），m≠0時(shí)，

- b 2a =m -b2 4a =m

，
解得，

a=- 1 m b=2

則a與m之間的關(guān)系式是：a=-

1

m

或am+1=0．
故答案是：-1；a=-

1

m

或am+1=0．

（2）∵a≠0，
∴y=ax²+bx=a（x+

b

2a

）²-

b2

4a

，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-

b

2a

，-

b2

4a

）．
又∵該頂點(diǎn)在直線(xiàn)y=kx（k≠0）上，
∴k（-

b

2a

）=-

b2

4a

．
∵b≠0，
∴b=2k；

（3）∵頂點(diǎn)A₁，A₂，…，A_n在直線(xiàn)y=x上，
∴可設(shè)A_n（n，n），點(diǎn)D_n所在的拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t）．
由（1）（2）可得，點(diǎn)D_n所在的拋物線(xiàn)解析式為y=-

1

t

x²+2x．
∵四邊形A_nB_nC_nD_n是正方形，
∴點(diǎn)D_n的坐標(biāo)是（2n，n），
∴-

1

t

（2n）²+2•2n=n，
∴4n=3t．
∵t、n是正整數(shù)，且t≤12，n≤12，
∴n=3，6或9．
∴滿(mǎn)足條件的正方形邊長(zhǎng)是3，6或9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式以及正方形的性質(zhì)．解答（3）題時(shí)，要注意n的取值范圍．