Question

14．如圖所示，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，P是直徑AB上的一點（不與A，B重合），過點P作AB的垂線交BC的延長線于點Q
（1）在線段PQ上取一點D，使DQ=DC，連接OC，試判斷CD與⊙O的位置關系，并說明理由．
（2）在（1）的條件下，若CD∥AB，OB=3，AP=1，求QP的長．

Answer 1

分析 （1）連結OC，由OC=OB得∠2=∠B，DQ=DC得∠1=∠Q，根據(jù)QP⊥PB得到∠Q+∠B=90°，則∠1+∠2=90°，再利用平角的定義得到∠DCO=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到CD為⊙O的切線；
（2）連接AC，根據(jù)已知條件得到四邊形OCDP是矩形，得到OC=PD=3，根據(jù)相似三角形的性質列方程即可得到結論．

解答 解：（1）CD與⊙O相切．理由如下：
連結OC，如圖，
∵OC=OB，
∴∠2=∠B，
∵DQ=DC，
∴∠1=∠Q，
∵QP⊥PB，
∴∠BPQ=90°，
∴∠Q+∠B=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠DCO=180°-∠1-∠2=90°，
∴OC⊥CD，
而OC為⊙O的半徑，
∴CD為⊙O的切線；

（2）連接AC，
∵CD∥AB，
∴∠CDP=∠DCO=∠DPO=90°，
∴四邊形OCDP是矩形，
∴PD=OC，
∵OB=3，
∴OC=PD=3，
∵AP=1，OA=OB=3，
∴OP=2，
∴PB=5，
∴OC∥PQ，
∴△BOC∽△BPQ，
∴$\frac{OB}{BP}=\frac{OC}{PQ}$，
∴PQ=5．

點評 本題考查了切線的判定和勾股定理的應用，切線的判定定理是：過半徑的外端點與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查等腰三角形的性質以及三角形相似的判定和性質．