Question

如圖，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分別為B、C．

(1)當(dāng)AB＝4，DC＝1，BC＝4時，在線段BC上是否存在點P，使AP⊥PD？如果存在，求線段BP的長；如果不存在，請說明理由．

(2)設(shè)AB＝a，DC＝b，AD＝c，那么當(dāng)a、b、c之間滿足什么關(guān)系時，在 直線BC上存在點P，使AP⊥PD？

Answer 1

答案：
解析：

(1)如果存在點P，使AP⊥PD，那么∠APD＝，∴∠APB＋∠CPD＝，∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝，∴∠APB＋∠BAP＝，∴∠BAP＝∠CPD，∴△APB∽△PDC，∴＝，設(shè)BP＝x，則PC＝4－x，∴＝，∴在線段BC上存在點P，使AP⊥PD，此時，BP—2; 　　(2)如果在直線BC上存在點P，使AP⊥PD，那么點P在以AD為直徑的圓上，且圓的半徑為c．取AD的中點O，過點O作OE⊥BC，垂足為E．∵∠B＝∠OEC＝∠C＝，∴AB∥OE∥DC．∵AO＝DO，∴BE＝CE．∴OE＝(AB＋DC)＝(a＋b)．∴當(dāng)OE＜c，即a＋b＜c時，以AD為直徑的圓與直線BC相交．此時，存在⊙O和直線BC的交點P1、P2，使AP1⊥P1D，AP2⊥P2D．當(dāng)OE＝c，即a＋b＝c時，以AD為直徑的圓與直線BC相切．此時，存在切點P，使AP⊥PD．當(dāng)OE＞c，即a＋b＞c時，以AD為直徑的圓與直線BC相離．此時，在直線BC上不存在點P，使AP⊥PD．綜上，當(dāng)a＋b≤c時，在直線BC上存在點P，使AP⊥PD．