Question

4．如圖，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，6），點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD．

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)F是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠FBA=∠BDE時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN∥x軸與拋物線交于點(diǎn)N，點(diǎn)P在x軸上，點(diǎn)Q在坐標(biāo)平面內(nèi)，以線段MN為對(duì)角線作正方形MPNQ，請(qǐng)寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式，再求其頂點(diǎn)D即可；
（2）過(guò)F作FG⊥x軸于點(diǎn)G，可設(shè)出F點(diǎn)坐標(biāo)，利用△FBG∽△BDE，由相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于F點(diǎn)坐標(biāo)的方程，可求得F點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）由于M、N兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可知點(diǎn)P為對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)Q在對(duì)稱軸上，可設(shè)出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，則可表示出M的坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：
（1）把B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{-18+6b+c=0}\\{c=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=6}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6，
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+8，
∴D（2，8）；
（2）如圖1，過(guò)F作FG⊥x軸于點(diǎn)G，

設(shè)F（x，-$\frac{1}{2}$x²+2x+6），則FG=|-$\frac{1}{2}$x²+2x+6|，
∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，
∴△FBG∽△BDE，
∴$\frac{FG}{BG}$=$\frac{BE}{DE}$，
∵B（6，0），D（2，8），
∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，
∴BG=6-x，
∴$\frac{|-\frac{1}{2}{x}^{2}+2x+6|}{6-x}$=$\frac{4}{8}$，
當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方時(shí)，有$\frac{-\frac{1}{2}{x}^{2}+2x+6}{6-x}$=$\frac{1}{2}$，解得x=-1或x=6（舍去），此時(shí)F點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，$\frac{7}{2}$）；
當(dāng)點(diǎn)F在x軸下方時(shí)，有$\frac{-\frac{1}{2}{x}^{2}+2x+6}{6-x}$=-$\frac{1}{2}$，解得x=-3或x=6（舍去），此時(shí)F點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，-$\frac{9}{2}$）；
綜上可知F點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，$\frac{7}{2}$）或（-3，-$\frac{9}{2}$）；

（3）如圖2，設(shè)對(duì)角線MN、PQ交于點(diǎn)O′，

∵點(diǎn)M、N關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，且四邊形MPNQ為正方形，
∴點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上，
設(shè)Q（2，2n），則M坐標(biāo)為（2-n，n），
∵點(diǎn)M在拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6的圖象上，
∴n=-$\frac{1}{2}$（2-n）²+2（2-n）+6，解得n=-1+$\sqrt{17}$或n=-1-$\sqrt{17}$，
∴滿足條件的點(diǎn)Q有兩個(gè)，其坐標(biāo)分別為（2，-2+2$\sqrt{17}$）或（2，-2-2$\sqrt{17}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識(shí)．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（2）中構(gòu)造三角形相似是解題的關(guān)鍵，注意有兩種情況，在（3）中確定出P、Q的位置是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．