Question

等腰三角形一邊是5，腰上的高是3，則這個等腰三角形的周長是

 

．

Answer 1

考點：勾股定理,等腰三角形的性質

專題：分類討論

分析：作出圖形，分①5是腰長時，利用勾股定理列式求出AD，再分CD在三角形內部和外部兩種情況求出BD，利用勾股定理列式求出BC，然后根據三角形的周長的定義解答；②5是底邊時，利用勾股定理列式求出BD，過點A作AE⊥BC于E，根據等腰三角形三線合一的性質求出BE，然后利用∠B的余弦列式求出腰長，再根據三角形的周長的定義解答．

解答：解：①5是腰長時，由勾股定理得，AD=

52-32

=4，
如圖1，高CD在三角形內部時，BD=AB-AD=5-4=1，
在Rt△BCD中，BC=

32+12

=

10

，
三角形的周長=5+5+

10

=10+

10

；
如圖2，高CD在三角形外部時，BD=AB+AD=5+4=9，
在Rt△BCD中，BC=

32+92

=3

10

，
三角形的周長=5+5+3

10

=10+3

10

；
②如圖3，5底邊時，由勾股定理得，BD=

52-32

=4，
過點A作AE⊥BC于E，則BE=

1

2

BC=

5

2

，
∵cos∠B=

BE

AB

=

BD

BC

，
∴

5 2

AB

=

4

5

，
解得AB=

25

8

，
三角形的周長=

25

8

×2+5=

45

4

．
綜上所述，三角形的周長為10+

10

或10+3

10

或

45

4

．
故答案為：10+

10

或10+3

10

或

45

4

．

點評：本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質，銳角三角函數，難點在于分情況討論，作出圖形更形象直觀．