Question

3．如圖，兩個全等的△ABC和△DFE重疊在一起，固定△ABC，將△DEF進行如下變換：
（1）如圖1，△DEF沿直線CB向右平移（即點F在線段CB上移動），連接AF、AD、BD．請直接寫出S_△ABC與S_{四邊形AFBD}的關(guān)系；
（2）如圖2，當(dāng)點F平移到線段BC的中點時，若四邊形AFBD為正方形，那么△ABC應(yīng)滿足什么條件？請給出證明；
（3）在（2）的條件下，將△DEF沿DF折疊，點E落在FA的延長線上的點G處，連接CG，請你在圖3的位置畫出圖形，并求出sin∠CGF的值．

Answer 1

分析 （1）利用平行線的性質(zhì)以及三角形面積關(guān)系得出答案；
（2）利用平行四邊形的判定得出四邊形AFBD為平行四邊形，進而得出AF=$\frac{1}{2}$BC=BF，求出答案；
（3）根據(jù)題意畫出圖形，利用sin∠CGF=$\frac{CF}{CG}$求出即可．

解答 解：（1）S_△ABC=S_{四邊形AFBD}，
理由：由題意可得：AD∥EC，
則S_△ADF=S_△ABD，
故S_△ACF=S_△ADF=S_△ABD，
則S_△ABC=S_{四邊形AFBD}；

（2）△ABC為等腰直角三角形，即：AB=AC，∠BAC=90°，
理由如下：∵F為BC的中點，
∴CF=BF，
∵CF=AD，
∴AD=BF，
又∵AD∥BF，
∴四邊形AFBD為平行四邊形，
∵AB=AC，F(xiàn)為BC的中點，
∴AF⊥BC，
∴平行四邊形AFBD為矩形，
∵∠BAC=90°，F(xiàn)為BC的中點，
∴AF=$\frac{1}{2}$BC=BF，
∴四邊形AFBD為正方形；

（3）如圖3所示：
由（2）知，△ABC為等腰直角三角形，AF⊥BC，
設(shè)CF=k，則GF=EF=CB=2k，
由勾股定理得：CG=$\sqrt{5}$k，
sin∠CGF=$\frac{CF}{CG}$=$\frac{k}{\sqrt{5}k}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 此題主要考查了正方形的判定以及等腰直角三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，熟練應(yīng)用正方形的判定方法是解題關(guān)鍵．