Question

13．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒2cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒$\sqrt{3}$cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0≤t≤5），連接MN．
（1）若BM=BN，求t的值；
（2）若△MBN與△ABC相似，求t的值；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ACNM的面積最小？并求出最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知條件得出AB=10，$BC=5\sqrt{3}$．由題意知：BM=2t，$CN=\sqrt{3}t$，$BN=5\sqrt{3}-\sqrt{3}t$，由BM=BN得出方程$2t=5\sqrt{3}-\sqrt{3}t$，解方程即可；
（2）分兩種情況：①當(dāng)△MBN∽△ABC時(shí)，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得出比例式，即可得出t的值；
②當(dāng)△NBM∽△ABC時(shí)，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得出比例式，即可得出t的值；
（3）過(guò)M作MD⊥BC于點(diǎn)D，則MD∥AC，證出△BMD∽△BAC，得出比例式求出MD=t．四邊形ACNM的面積y=△ABC的面積-△BMN的面積，得出y是t的二次函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，∠BAC=60°，
∴∠B=30°，
∴AB=2AC=10，$BC=5\sqrt{3}$．     
由題意知：BM=2t，$CN=\sqrt{3}t$，
∴$BN=5\sqrt{3}-\sqrt{3}t$，
∵BM=BN，
∴$2t=5\sqrt{3}-\sqrt{3}t$，
解得：$t=\frac{{5\sqrt{3}}}{{2+\sqrt{3}}}=10\sqrt{3}-15$．
（2）分兩種情況：①當(dāng)△MBN∽△ABC時(shí)，
則$\frac{MB}{AB}=\frac{BN}{BC}$，即$\frac{2t}{10}=\frac{{5\sqrt{3}-\sqrt{3}t}}{{5\sqrt{3}}}$，
解得：$t=\frac{5}{2}$．
②當(dāng)△NBM∽△ABC時(shí)，
則$\frac{NB}{AB}=\frac{BM}{BC}$，即$\frac{{5\sqrt{3}-\sqrt{3}t}}{10}=\frac{2t}{{5\sqrt{3}}}$，
解得：$t=\frac{15}{7}$．
綜上所述：當(dāng)$t=\frac{5}{2}$或$t=\frac{15}{7}$時(shí)，△MBN與△ABC相似．
（3）過(guò)M作MD⊥BC于點(diǎn)D，則MD∥AC，
∴△BMD∽△BAC，
∴$\frac{MD}{AC}=\frac{BM}{AB}$，
即$\frac{MD}{5}=\frac{2t}{10}$，
解得：MD=t．
設(shè)四邊形ACNM的面積為y，
∴y=$\frac{1}{2}×5×5\sqrt{3}-\frac{1}{2}（5\sqrt{3}-\sqrt{3}t）•t$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}{t^2}-\frac{{5\sqrt{3}}}{2}t+\frac{{25\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}{（t-\frac{5}{2}）^2}+\frac{75}{8}\sqrt{3}$．
∴根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)$t=\frac{5}{2}$時(shí)，y的值最小．
此時(shí)，${y_{最小}}=\frac{75}{8}\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是相似形綜合題目，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算；本題綜合性強(qiáng)，證明三角形相似是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．