Question

8．如圖，在正方形ABCD中，E是AD的中點，DF⊥EC于點F，連結AF，則下列四個結論：
①△EDF∽△ECD；②AF平分∠EAC；③AF：AB=$\sqrt{2}$：$\sqrt{5}$；④S_△AFC=4S_△AEF；
其中，正確的是①③④（請將正確結論的序號填在橫線上）．

Answer 1

分析 ①正確，可以根據(jù)AA進行證明，②錯誤．先證明△AEF∽△CEA得∠EAF=∠ACE，通過計算發(fā)現(xiàn)AF≠FC即∠FAC≠∠FCA，由此可以作出判斷．③正確．求出AF，即可解決問題．④正確，只要證明FC=4EF即可．

解答 解：設正方形ABCD邊長為2a，則AE=ED=a，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=2a，∠ADC=90°，
∵DF⊥EC，
∴∠EDC=∠EFD=90°，
∵∠DEF=∠DEC，
∴△EDF∽△ECD，故①正確；
∴$\frac{ED}{EC}$=$\frac{DF}{CD}$=$\frac{EF}{ED}$，
∴$\frac{a}{\sqrt{5}a}$=$\frac{DF}{2a}$=$\frac{EF}{a}$，DE²=EF•EC，
∴EF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a，DF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a，
FC=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$a，
∴FC=4EF，
∴S_△AFC=4S_△AEF，故④正確；
∴AE²=EF•EC，
∴$\frac{AE}{EF}$=$\frac{EC}{AE}$，∵∠AEF=∠AEC，
∴△AEF∽△CEA，
∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{AE}{EC}$=$\frac{EF}{AE}$，∠EAF=∠ACE，
∴$\frac{AF}{2\sqrt{2}a}$=$\frac{a}{\sqrt{5}a}$，
∴AF=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$a，
∴AF≠FC，
∴∠FAC≠∠FCA，
∴∠EAF≠∠FAC，故②錯誤；
∴AF：AB=$\frac{2\sqrt{10}}{5}a$：2a=$\sqrt{10}$：5=$\sqrt{2}$：$\sqrt{5}$，故③正確．
故答案為①③④．

點評 本題考查學相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)勾股定理等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解決問題，屬于中考常考題型．