Question

探究題．
如圖，已知△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，CD垂直于∠ABC角平分線BD于D，AC，BD交于E．AF為BC中線，交BE于G．
（1）求證：BE=2CD；
（2）CE和BG大小如何？不必證明．

Answer 1

（1）證明：延長(zhǎng)CD交BA延長(zhǎng)線于H．
∵∠BAC=90°，CD⊥BD，
∴∠BAC=∠CDB=90°，又∠AEB=∠DEC，
∴△ABE∽△DCE，
∴∠ABD=∠ACD，即∠ABE=∠ACH．
在△ABE與△ACH中，

∴△ABE≌△ACH（ASA），
∴BE=CH；
∵BD平分∠ABC，BD⊥CH，
∴CH=2CD，
∴BE=2CD；

（2）解：CE＜BG．
分析：（1）延長(zhǎng)CD與BA延長(zhǎng)線交于H．BD為角平分線．構(gòu)建全等三角形△ABE≌△ACH（ASA），然后由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)、等腰三角形的“三合一”的性質(zhì)證得結(jié)論即可；
（2）根據(jù)圖示直接回答．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)．本題通過(guò)作輔助線“延長(zhǎng)CD交BA延長(zhǎng)線于H”構(gòu)建全等三角形來(lái)證明的．