Question

7．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點，連接DE并延長交CB的延長線于點F，點G在邊BC上，且∠1=∠2．
（1）求證：△ADE≌△BFE；
（2）聯結EG，試說明EG與DF垂直的理由．

Answer 1

分析 （1）由AD與BC平行，利用兩直線平行內錯角相等，得到一對角相等，再由一對對頂角相等及E為AB中點得到一對邊相等，利用AAS即可得出△ADE≌△BFE；
（2）由∠GDF=∠ADE，以及（1）得出的∠ADE=∠BFE，等量代換得到∠GDF=∠BFE，利用等角對等邊得到GF=GD，即三角形GDF為等腰三角形，再由（1）得到DE=FE，即GE為底邊上的中線，利用三線合一即可得到GE與DF垂直．

解答 解：（1）∵AD∥BC，
∴∠1=∠F（兩直線平行，內錯角相等）
∵E為AB的中點，
∴AE=BE（中點的意義），
在△ADE和△BFE中，$\left\{\begin{array}{l}∠1=∠F（已證）\\∠AED=∠BEF（對頂角相等）\\ AE=BE（已知）\end{array}\right.$
∴△ADE≌△BFE（AAS）．
（2）∵∠1=∠F，∠1=∠2，
∴∠F=∠2（等量代換），
∴DG=FG（等角對等邊）．
∵△ADE≌△BFE （已證），
∴DE=FE（全等三角形的對應邊相等），
∴EG⊥DF（等腰三角形三線合一）．

點評 此題考查了全等三角形的判定與性質，平行線的性質，以及等腰三角形的判定與性質，熟練掌握判定與性質是解本題的關鍵．