Question

7．如圖，在正方形ABCD中，AB=6，點(diǎn)E是AD邊上一點(diǎn)AE=2，連接BE，點(diǎn)F是AB邊上一動點(diǎn)，將△FBC沿CF翻折后，點(diǎn)B恰好落在BE上的點(diǎn)G處，F(xiàn)C交BE于點(diǎn)O，現(xiàn)將△FOG繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)得到△F′OG′，射線OG′、射線OF′分別交直線AD于點(diǎn)M、N，當(dāng)△OMN為等腰三角形時GM=$\frac{6}{5}$$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 如圖作OH⊥BC于H，HO的延長線交AD于J，作GK⊥AD于K．在Rt△GMK中，求出KG、KM即可解決問題．

解答 解：如圖作OH⊥BC于H，HO的延長線交AD于J，作GK⊥AD于K．，連接GM．

由題意CF⊥BE，∵∠ABE+∠CBE=90°，∠CBE+∠FCB=90°，
∴∠ABE=∠BCF，
在△ABE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAB=∠CBF}\\{AB=BC}\\{∠ABE=∠BCF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF，
∴BF=AE=2，∵BC=6，
∴CF=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∵$\frac{1}{2}$•CF•OB=$\frac{1}{2}$•BF•BC，
∴OB=OG=$\frac{3}{5}$$\sqrt{10}$，
∵△OBH∽△CFB，
∴$\frac{OB}{CF}$=$\frac{OH}{BC}$=$\frac{BH}{BF}$，
∴OH=$\frac{9}{5}$，BH=AJ=JK=$\frac{3}{5}$，
∵BE=CF=2$\sqrt{10}$，
∴EG=BE=BG=$\frac{4}{5}$$\sqrt{10}$，
由$\frac{KG}{AB}$=$\frac{KE}{AE}$=$\frac{EG}{EB}$，可得KE=$\frac{4}{5}$，KG=$\frac{12}{5}$，
∵△MON是等腰直角三角形，
∴OM=ON，∵OJ⊥MN，
∴OJ=JN=JM=$\frac{21}{5}$，
∴KM=$\frac{21}{5}$-$\frac{3}{5}$=$\frac{18}{5}$，
在Rt△GMK中，GM=$\sqrt{K{G}^{2}+K{M}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{12}{5}）^{2}+（\frac{18}{5}）^{2}}$=$\frac{6}{5}$$\sqrt{13}$，
故答案為$\frac{6}{5}$$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評 本題考查翻折變換、旋轉(zhuǎn)變換、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．