Question

△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B．
（1）①在圖1中，若AD⊥BC于D，∠C=60°、∠B=40°則∠DAE=

 

；
②在圖2中，若點P是AE上的一動點，過點P作PG⊥BC于G，則∠EPG與∠C、∠B之間的相等關系是

 

；
（2）若點P是AE延長線上一點，過點P作PG⊥BC于G，則∠EPG與∠C、∠B之間有何相等關系？畫出圖并證明你的結論．

Answer 1

考點：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：探究型

分析：（1）①先求出∠BAC，根據(jù)角平分線定義求出∠CAE，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠CAD，代入∠DAE=∠CAE-∠CAD求出即可；
②先求出∠EFG=∠DAE，求出∠BAC，根據(jù)角平分線定義求出∠CAE，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠CAD，代入∠DAE=∠CAE-∠CAD求出∠DAE即可；
（2）先求出∠EFG=∠DAE，求出∠BAC，根據(jù)角平分線定義求出∠CAE，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠CAD，代入∠DAE=∠CAE-∠CAD求出∠DAE即可；

解答：解：
（1）①如圖1，∵∠C=60°、∠B=40°，
∴∠CAB=180°-（∠B+∠C）=80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC=

1

2

∠BAC=

1

2

×80°=40°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=60°，
∴∠DAC=180°-90°-60°=30°，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=40°-30°=10°，
故答案為：10°；

②∠EPG=

1

2

∠C-

1

2

∠B，
理由是：如圖2，過A作AD⊥BC于D，
∵PG⊥BC，
∴AD∥PG，
∴∠DAE=∠GPE，
∵∠CAB=180°-（∠B+∠C），
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC=

1

2

∠BAC=

1

2

[180°-（∠B+∠C）]=90°-

1

2

∠B-

1

2

∠C，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=90°-∠C，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=90°-

1

2

∠B-

1

2

∠C-（90°-∠C）=

1

2

∠C-

1

2

∠B，
∴∠EPG=

1

2

∠C-

1

2

∠B，
故答案為：∠EPG=

1

2

∠C-

1

2

∠B；

（2）∠EG=

1

2

∠C-

1

2

∠B，
證明：如圖3，過A作AD⊥BC于D，
∵PG⊥BC，
∴AD∥PG，
∴∠DAE=∠GPE，
∵∠CAB=180°-（∠B+∠C），
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC=

1

2

∠BAC=

1

2

[180°-（∠B+∠C）]=90°-

1

2

∠B-

1

2

∠C，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=90°-∠C，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=90°-

1

2

∠B-

1

2

∠C-（90°-∠C）=

1

2

∠C-

1

2

∠B，
∴∠EPG=

1

2

∠C-

1

2

∠B．

點評：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線定義，平行線的性質(zhì)和判定的應用，主要考查學生運用定理進行推理的能力，題目比較好，證明過程類似．