Question

如圖，在直梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，且AD=4cm，AB=6cm，DC=10cm．若動點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒4cm的速度沿線段A、DC向C點(diǎn)運(yùn)動；動點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)以每秒5cm的速度沿CB向B點(diǎn)運(yùn)動 當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時，動點(diǎn)P、Q同時停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P、Q同時出發(fā)，并運(yùn)動了t秒．
（1）當(dāng)t=

4

9

秒時，四邊形PQCD是平行四邊形；
（2）當(dāng)t=

7

4

秒時，PQ⊥DC．

Answer 1

分析：（1）設(shè)經(jīng)過t秒時四邊形PQCD是平行四邊形，此時PD=CQ時，根據(jù)題意可出關(guān)于t的方程，求出t的值即可；
（2）設(shè)經(jīng)過t秒PQ⊥DC，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，則DE=AB=6cm，根據(jù)勾股定理可得出CE的長，故cos∠C=

CE

CD

，此時PC=（AD+DC）-（AD+DP）=14-4t，QC=5t，故cos∠C=

CE

CD

=

PC

CQ

，由此可得出t的值．

解答：解：（1）設(shè)經(jīng)過t秒時四邊形PQCD是平行四邊形，此時PD=CQ，
4-4t=5t
解得t=

4

9

（秒）．
故答案為：

4

9

；

（2）設(shè)經(jīng)過t秒PQ⊥DC，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，
∵AB=6cm，DC=10cm
∴DE=AB=6cm，
∴CE=

CD2-DE2

=

102-62

=8cm，
∴cos∠C=

CE

CD

，
∴PC=（AD+DC）-（AD+DP）=14-4t，QC=5t，
∴cos∠C=

CE

CD

=

PC

CQ

，即

8

10

=

14-4t

5t

，解得t=

7

4

（秒）．
故答案為：

7

4

．

點(diǎn)評：本題考查的是四邊形綜合題，涉及到梯形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義等知識，難度適中．