Question

給定直線l：y=kx，拋物線C：y=ax²+bx+1．

（1）當b=1時，l與C相交于A，B兩點，其中A為C的頂點，B與A關于原點對稱，求a的值；

（2）若把直線l向上平移k²+1個單位長度得到直線r，則無論非零實數k取何值，直線r與拋物線C都只有一個交點．

①求此拋物線的解析式；

②若P是此拋物線上任一點，過P作PQ∥y軸且與直線y=2交于Q點，O為原點．求證：OP=PQ．

Answer 1

（1）解：

∵l：y=kx，C：y=ax²+bx+1，當b=1時有A，B兩交點，

∴A，B兩點的橫坐標滿足kx=ax²+x+1，即ax²+（1﹣k）x+1=0．

∵B與A關于原點對稱，

∴0=x_A+x_B=，

∴k=1．

∵y=ax²+x+1=a（x+）²+1﹣，

∴頂點（﹣，1﹣）在y=x上，

∴﹣=1﹣，

解得 a=﹣．

（2）

①解：∵無論非零實數k取何值，直線r與拋物線C都只有一個交點，

∴k=1時，k=2時，直線r與拋物線C都只有一個交點．

當k=1時，r：y=x+2，

∴代入C：y=ax²+bx+1中，有ax²+（b﹣1）x﹣1=0，

∵△==0，

∴（b﹣1）²+4a=0，

當k=2時，r：y=2x+5，

∴代入C：y=ax²+bx+1中，有ax²+（b﹣2）x﹣4=0，

∵△==0，

∴（b﹣2）²+16a=0，

∴聯立得關于a，b的方程組 ，

解得 或 ．

∵r：y=kx+k²+1代入C：y=ax²+bx+1，得ax²+（b﹣k）x﹣k²=0，

∴△=．

當時，△===0，故無論k取何值，直線r與拋物線C都只有一個交點．

當時，△==，顯然雖k值的變化，△不恒為0，所以不合題意舍去．

∴C：y=﹣x²+1．

②證明：

根據題意，畫出圖象如圖1，

由P在拋物線y=﹣x²+1上，設P坐標為（x，﹣x²+1），連接OP，過P作PQ⊥直線y=2于Q，作PD⊥x軸于D，

∵PD=|﹣x²+1|，OD=|x|，

∴OP====，

  PQ=2﹣y_P=2﹣（﹣x²+1）=，

∴OP=PQ．