Question

已知三條拋物線C₁：y=ax²+bx+c；C₂：y=bx²+cx+a；C₃：y=cx²+ax+b，（a，b，c互不相等）
（1）若a=1，b=2，c=-3，且拋物線C₁和C₂相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．
（i）求A、B兩點(diǎn)的距離；
（ii）若點(diǎn)P在拋物線C₁上，點(diǎn)Q在拋物線C₂上，且均位于點(diǎn)A和點(diǎn)B之間，求當(dāng)PQ∥y軸時(shí)，PQ長度的最大值．
（2）若這三條拋物線在x軸上恰好有一個(gè)公共交點(diǎn)，求

a2

bc

+

b2

ca

+

c2

ab

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將a=1，b=2，c=-3代入得到拋物線C₁：y=x²+2x+3、C₂：y=2x²-3x+1
（i）將兩個(gè)二次函數(shù)聯(lián)立求得交點(diǎn)坐標(biāo)即可確定點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)；∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊；
（ii）根據(jù)點(diǎn)P在C₁上 點(diǎn)Q在拋物線C₂上，且PQ∥y軸，設(shè)P（a，a²+2a-3）Q（a，2a²-3a+1）（1＜a＜4），從而表示出PQ=（a²+2a-3）-（2a²-3a+1）=-a²+5a-4，配方后即可確定最值；
（2）根據(jù)若三條拋物線在x軸上恰好有一個(gè)公共交點(diǎn)設(shè)公共交點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，0），代入從而得到（a+b+c）（x²+x+1）=0，根據(jù)x²+x+1=（x+

1

2

^）2+

3

4

＞0，得到a+b+c=0，然后利用合比性質(zhì)求得代數(shù)式的值即可．

解答：解：（1）當(dāng)a=1，b=2，c=-3時(shí)，拋物線C₁：y=x²+2x+3、C₂：y=2x²-3x+1
（i）拋物線C₁和C₂相交于A，B兩點(diǎn)
∴

y=x2+2x-3 y=2x2-3x+1

，
解得 

x=1 y=0

或

x=4 y=21

，
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，
∴點(diǎn)A（1，0），B（4，21），
∴AB=

(4-1)2+(21-0)2

=15

2

；

（ii） 如圖，點(diǎn)P在C₁上 點(diǎn)Q在拋物線C₂上，且PQ∥y軸
∴設(shè)P（a，a²+2a-3）Q（a，2a²-3a+1）（1＜a＜4），
∴PQ=（a²+2a-3）-（2a²-3a+1）
=-a²+5a-4
=-（a-

5

2

）²+

9

4

，
∴當(dāng)a=

5

2

時(shí)，PQ的最小值為

9

4

；

（2）∵若三條拋物線在x軸上恰好有一個(gè)公共交點(diǎn)
∴設(shè)公共交點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，0），代入，得：

ax2+bx+c=0 bx2+cx+a=0 cx2+ax+b=0

，
∴（a+b+c）（x²+x+1）=0．
∵x²+x+1=（x+

1

2

^）2+

3

4

＞0，
∴a+b+c=0．
∴

a2

bc

+

b2

ca

+

c2

ab

=

a3+b3+c3

abc

=

a3+b3-(a+b)3

abc

=

3abc

abc

=3．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，題目中涉及到了如何表示平行于坐標(biāo)軸的線段的長，平行于y軸的線段的長等于其兩個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差的絕對值，難度較大．