Question

如圖，在⊙O中，CD是弦AB上的二點(diǎn)，AC=BD，∠FCD=∠HDC，求證：EF=GH．

Answer 1

證明：連接OE，OF，OG，OH；作OM⊥AB于點(diǎn)M；
根據(jù)垂徑定理可得：MA=MB，又有AC=BD，故MC=MD；進(jìn)而可得OC=OD；
∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，
∴∠OCF=∠ODH．
又∵OC=OD，OF=OH，
∴△OCF≌△ODH．
∴∠F=∠H，
又∵OF=OH，OE=OG，
∴∠E=∠F=∠H=∠G，
∴∠E=∠G，∠F=∠H，
又∵OF=OH，
∴△OEF≌△OGH（SSA）．
故有EF=GH．
分析：連接OE，OF，OG，OH；作OM垂直于AB，交AB于點(diǎn)M；根據(jù)題意易得OC=OD，進(jìn)而可得△OCF≌△ODH；由此可得∠OFE=∠OHG，又可得△OEF≌△OGH；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得EF=GH．
點(diǎn)評：本題考查垂弦定理、圓心角、圓周角的應(yīng)用能力．