Question

【題目】我們定義：對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．

（1）如圖1，垂美四邊形ABCD的對角線AC，BD交于O．求證：AB2+CD2＝AD2+BC2；

（2）如圖2，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連結BE，CG，GE．

①求證：四邊形BCGE是垂美四邊形；

②若AC＝4，AB＝5，求GE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②GE＝

【解析】

（1）由垂美四邊形得出AC⊥BD，則∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，由勾股定理得AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，即可得出結論；
（2）①連接BG、CE相交于點N，CE交AB于點M，由正方形的性質得出AG=AC，AB=AE，∠CAG=∠BAE=90°，易求∠GAB=∠CAE，由SAS證得△GAB≌△CAE，得出∠ABG=∠AEC，由∠AEC+∠AME=90°，得出∠ABG+∠AME=90°，推出∠ABG+∠BMN=90°，即CE⊥BG，即可得出結論；
②垂美四邊形得出CG2+BE2=CB2+GE2，由勾股定理得出BC==3，由正方形的性質得出CG=4 ，BE=5，則GE2=CG2+BE2-CB2=73，即可得出結果．

（1）證明：∵垂美四邊形ABCD的對角線AC，BD交于O，

∴AC⊥BD，

∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，

由勾股定理得：AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，

AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，

∴AD2+BC2＝AB2+CD2；

（2）①證明：連接BG、CE相交于點N，CE交AB于點M，如圖2所示：

∵正方形ACFG和正方形ABDE，

∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，

∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，

在△GAB和△CAE中，，

∴△GAB≌△CAE（SAS），

∴∠ABG＝∠AEC，

∵∠AEC+∠AME＝90°，

∴∠ABG+∠AME＝90°，

∴∠ABG+∠BMN＝90°，即CE⊥BG，

∴四邊形BCGE是垂美四邊形；

②解：∵四邊形BCGE是垂美四邊形，

∴由（1）得：CG2+BE2＝CB2+GE2，

∵AC＝4，AB＝5，

∴BC＝＝＝3，

∵正方形ACFG和正方形ABDE，

∴CG＝AC＝4，BE＝AB＝5，

∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝（4）2+（5）2﹣32＝73，

∴GE＝．