Question

如圖，在四邊形ABCD中，∠B=90°，DE∥AB交BC于E、交AC于F，∠CDE=∠ACB=30°，BC=DE．
（1）求證：△FCD是等腰三角形；
（2）若AB=4，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定,勾股定理

專題：

分析：（1）先根據(jù)條件證明△ABC≌△CED就可以得出∠CDE=∠ACB=30°，再計(jì)算出∠DCF=30°，這樣就可以得出結(jié)論；
（2）根據(jù)AB=4就可以求出AC的值，就可以求出CD．

解答：解：（1）∵DE∥AB，
∴∠DEC=∠B．
在△ABC和△CED中

∠B=∠DEC BC=DE ∠ACB=∠CDE

，
∴△ABC≌△CED（ASA）
∴∠CDE=∠ACB=30°，
∴∠DCE=30°，
∴∠DCF=∠DCE-∠ACB=30°，
∴∠DCF=∠CDF，
∴△FCD是等腰三角形；
（2）∵∠B=90°，∠ACB=30°，
∴AC=2AB．
∵AB=4，
∴AC=8，
∴CD=8．
答：CD=8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．