Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中有，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，將此三角形繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，二次函數(shù)的圖象剛好經(jīng)過三點(diǎn)．

（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）過定點(diǎn)的直線與二次函數(shù)圖象相交于兩點(diǎn)．

①若，求的值；

②證明：無論為何值，恒為直角三角形；

③當(dāng)直線繞著定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，外接圓圓心在一條拋物線上運(yùn)動(dòng)，直接寫出該拋物線的表達(dá)式．

Answer 1

【答案】（1）,;（2）①；②見解析；③．

【解析】

（1）求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（0，3）、（-1，0）、（3，0），即可求解；

（2）①S△PMN=PQ×（x2-x1），則x2-x1=4，即可求解；②k1k2==-1，即可求解；③取MN的中點(diǎn)H，則點(diǎn)H是△PMN外接圓圓心，即可求解．

（1），則，

即點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、，

則二次函數(shù)表達(dá)式為：，

即：，解得：，

故函數(shù)表達(dá)式為：，

點(diǎn)；

（2）將二次函數(shù)與直線的表達(dá)式聯(lián)立并整理得：

，

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為、，

則，

則：，

同理：，

①，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)，

，則，

，

解得：；

②點(diǎn)的坐標(biāo)為、、點(diǎn)，

則直線表達(dá)式中的值為：，直線表達(dá)式中的值為：，

為： ，

故，

即：恒為直角三角形；

③取的中點(diǎn)，則點(diǎn)是外接圓圓心，

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，

則，

，

整理得：，

即：該拋物線的表達(dá)式為：．