Question

如圖（1），BP、CP分別是△ABC的內、外角平分線．
（1）若∠A=60°，則∠P=

 

；
（2）如圖（2），過B作直線MQ，交PC的延長線于Q，且使∠MBA=∠QBC．試討論當∠A滿足什么條件時，∠P＞∠Q；∠P=∠Q；∠P＜∠Q．

Answer 1

考點：三角形內角和定理,三角形的外角性質

專題：

分析：（1）根據角平分線的定義得∠PBC=

1

2

∠ABC，∠PCD=

1

2

∠ACD，再根據三角形外角性質得∠ACD=∠A+∠ABC，∠PCD=∠PBC+∠P，所以

1

2

（∠A+∠ABC）=∠PBC+∠P=

1

2

∠ABC+∠P，然后整理可得∠P=

1

2

∠A=30°．
（2）由于∠P=

1

2

∠A，∠P+∠Q=90°，代入∠P＞∠Q；∠P=∠Q；∠P＜∠Q．即可求得．

解答：解：（1）∵△ABC的內角平分線BP與外角平分線CP交于P，
∴∠PBC=

1

2

∠ABC，∠PCD=

1

2

∠ACD，
∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠PCD=∠PBC+∠P，
∴

1

2

（∠A+∠ABC）=∠PBC+∠P=

1

2

∠ABC+∠P，
∴∠P=

1

2

∠A=

1

2

×60°=30°．

（2）∵∠P=

1

2

∠A，
∴要使∠P＞∠Q，則

1

2

∠A＞∠Q，
∵∠ABP=∠CBP，∠MBA=∠QBC，
∴∠P+∠Q=90°，
∴

1

2

∠A+∠Q=90°，
∴∠Q=90°-

1

2

∠A，
∴

1

2

∠A＞90°-

1

2

∠A，即∠A＞90°，
∴要使∠P＞∠Q，∠A=90°，要使∠P＞∠Q，∠A＜90°．

點評：本題考查了三角形內角和定理：三角形內角和是180°．也考查了三角形外角性質．