Question

15、甲乙丙三人分糖塊，分法如下：先在三張紙片上各寫三個正整數p、q、r，使p＜q＜r，分糖時，每人抽一張紙片，然后把紙片上的數減去p，就是他這一輪分得的糖塊數，經過若干輪這種分法后，甲總共得到20塊糖，乙得到10塊糖，丙得到9塊糖，又知最后一次乙得到的紙片上寫的數是r，而丙在各輪中得到的紙片上寫的數字的和是18．問p、q、r是哪三個正除數，為什么？

Answer 1

分析：首先求得甲乙丙三人一輪共得到糖塊，那么第n輪后共得到糖塊數也即可得到．該數還是甲總共得到20塊糖，乙得到10塊糖，丙得到9塊糖的和．即列式n（q+r-2p）=20+10+9=39=1×39=3×13．再分別討論n=1，n=39，n=3，n=13時，，是否滿足已知條件，進而確定p、q、r的值．

解答：解：每一輪三人得到的糖數之和為
p+q+r-3p=q+r-2p．
設它們共分了n輪，依題意，得
n（q+r-2p）=20+10+9=39=1×39=3×13．①
若n=1，則抽到紙片上為p的人得糖數為0，與已知矛盾，
∴n≠1；
若n=39，則q+r-2p=1，這不可能，
∵p＞q＞r，且都為整數，
∴每輪至少分出2塊糖，不可能只分1塊糖，
∴n≠39．
∴n=3或n=13．
∵丙在各輪中得到的紙片上寫數字的和是18，
∴丙分得的糖數為18-np．
∴18-np=9，np=9．
∵p≥1，∴n≠13．只有n=3，p=3．
將n=3，p=3代入（1），得
3（r+q-6）=39，∴r+q=19．
∵乙得到的糖塊數為10，而最后一輪得到的糖塊是r-3，
∴r-3≤10，r≤13．
若r≤12，則乙最后一輪得到的糖塊必≤9，這樣乙必定在前一輪中抽得的紙片上為q或r，他得的糖塊數q+r-2p必不小于13，這與乙總共得到10塊糖相矛盾．
∴r＞12，12＜r≤13，
∴r=13，q=6．
綜上所述，p=3，q=6，r=13．
甲乙丙三人三輪中抽得紙片上的數字如下：，

點評：本題考查抽屜原理的應用，難度較大，關鍵是在全面考慮的基礎上，排除不能滿足條件的數據．這種方法經常在數學證明時使用，同學們要注意掌握．