Question

2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C坐標(biāo)分別為（5，0）、（10，0）、（0，-5）．
（1）求過(guò)B、C兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式；
（2）若直線BC上有一動(dòng)點(diǎn)P（m，n），以點(diǎn)O、A、P為頂點(diǎn)的三角形面積和以點(diǎn)O、C、P為頂點(diǎn)的三角形面積相等，求P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）若y軸上有一動(dòng)點(diǎn)Q，使以點(diǎn)Q、A、C為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，直接寫(xiě)出Q點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線BC解析式為y=kx+b，把B與C坐標(biāo)代入求出k與b的值，即可確定出解析式；
（2）由P的坐標(biāo)，根據(jù)三角形OAP與三角形OCP面積相等找出m與n的關(guān)系式，代入直線BC解析式求出m與n的值，即可確定出P的坐標(biāo)；
（3）如圖所示，分四種情況考慮：當(dāng)CQ₁=AQ₁=5時(shí)，此時(shí)Q₁與原點(diǎn)O重合；當(dāng)AC=AQ₂=$\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{2}$時(shí)，求出此時(shí)OQ₂的長(zhǎng)，確定出Q₂坐標(biāo)；當(dāng)AC=CQ₃=5$\sqrt{2}$時(shí)，OQ₃=OC+CQ₃=5+5$\sqrt{2}$，求出此時(shí)Q₃坐標(biāo)；當(dāng)AC=CQ₄=5$\sqrt{2}$時(shí)，求出此時(shí)Q₄坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b，
把B（10，0）和C（0，-5）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{10k+b=0}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
則一次函數(shù)解析式為y=$\frac{1}{2}$x-5；
（2）∵P坐標(biāo)為（m，n），且S_△OAP=S_△OCP，OA=OC=5，
∴$\frac{1}{2}$OA•|n|=$\frac{1}{2}$OC•|m|，即|n|=|m|，
∴m=±n，
當(dāng)m=n時(shí)，代入y=$\frac{1}{2}$x-5得：m=$\frac{1}{2}$m-5，即m=-10，此時(shí)P（-10，-10）；
當(dāng)m=-n時(shí)，代入y=$\frac{1}{2}$x-5得：-m=$\frac{1}{2}$m-5，即m=$\frac{10}{3}$，n=-$\frac{10}{3}$，此時(shí)P（$\frac{10}{3}$，-$\frac{10}{3}$）；
（3）如圖所示，分四種情況考慮：

當(dāng)CQ₁=AQ₁=5時(shí)，此時(shí)Q₁與原點(diǎn)O重合，即Q₁坐標(biāo)為（0，0）；
當(dāng)AC=AQ₂=$\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{2}$時(shí)，此時(shí)OQ₂=5，即Q₂坐標(biāo)為（0，5）；
當(dāng)AC=CQ₃=5$\sqrt{2}$時(shí)，OQ₃=OC+CQ₃=5+5$\sqrt{2}$，此時(shí)Q₃坐標(biāo)為（0，-5-5$\sqrt{2}$）；
當(dāng)AC=CQ₄=5$\sqrt{2}$時(shí)，OQ₄=CQ₄-OC=5$\sqrt{2}$-5，此時(shí)Q₄坐標(biāo)為（0，5$\sqrt{2}$-5），
綜上，Q的坐標(biāo)為（0，0）或（0，5）或（0，-5-5$\sqrt{2}$）或（0，5$\sqrt{2}$-5）．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，以及三角形的面積，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．